Isomorphie von Graphen

Die Isomorphie von Graphen (oder Graphenisomorphie) ist in der Graphentheorie die Eigenschaft zweier Graphen, strukturell gleich zu sein.

Bei der Untersuchung graphentheoretischer Probleme kommt es meist nur auf die Struktur der Graphen, nicht aber auf die Bezeichnung ihrer Knoten an. In den allermeisten Fällen sind die untersuchten Grapheneigenschaften dann invariant bzgl. Isomorphie (gr. ἴσος ísos „gleich“ und μορφή morphé „Form“, „Gestalt“), die im Folgenden genauer definiert wird.

Definitionen

Seien G_{1}=\left(V_{1},E_{1}\right) und G_{2}=\left(V_{2},E_{2}\right) Graphen desselben Typs. Eine bijektive Abbildung p\colon V_{1}\to V_{2} heißt Isomorphismus zwischen G_{1} und G_{2}, falls gilt:

Zwei Graphen heißen zueinander isomorph, falls es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Die Abbildung p heißt Automorphismus von G_{1} bzw. G_{2}, falls zusätzlich G_{1}=G_{2} gilt.

Prüfung auf Isomorphie und Graphen-Isomorphismus-Problem

Zur Prüfung der Isomorphie zweier gegebener Graphen ist kein effizienter (polynomialzeitlicher) Algorithmus bekannt. Mehr noch, die Komplexität des bestmöglichen Algorithmus ist bis heute noch nicht bestimmt. Insbesondere ist die Isomorphie von Graphen eines der wenigen bekannten Probleme in NP, für die weder bekannt ist, ob sie in P enthalten, noch ob sie NP-vollständig sind. Die Frage, ob das Graphen-Isomorphus-Problem in P ist (oder ob es NP-vollständig ist) ist eines der großen offenen Probleme der Informatik. Es ist das letzte der 12 Probleme in dem Buch Computers and Intractability (1979) von Michael Garey und David S. Johnson, von denen nicht bekannt ist, in welche der Komplexitätsklassen NP-vollständig oder P sie gehören (oder nicht gehören). Deshalb wurde es auch schon als eigene Komplexitätsklasse GI definiert und es wurde untersucht, ob andere Probleme GI-schwer oder GI-vollständig sind, wobei die Definitionen in analoger Weise wie bei NP-schwer und NP-vollständig erfolgen.

László Babai kündigte im Dezember 2015 an, einen Algorithmus gefunden zu haben, der quasipolynomial ist, das heißt, mit dem das Problem in der Zeit {\displaystyle e^{{(\log {n})}^{O(1)}}} gelöst werden kann (mit der Anzahl n der Knoten des Graphen). Das Verhalten wird als quasipolynomial bezeichnet, da es nicht so schnell wie in polynomialer Zeit erfolgt, aber dem schon nahe kommt. Die vorher beste Abschätzung stammte von Babai und Eugene Luks 1983, die die Schranke {\displaystyle e^{O({\sqrt {(n\cdot \log {n})}})}} angab.

Beispiel

Diese beiden Graphen sind isomorph, obwohl ihre Darstellungen sich erheblich unterscheiden.

G_{1}=(V_{1},E_{1}) G_{2}=(V_{2},E_{2}) {\displaystyle p\colon V_{1}\to V_{2}}
Graph isomorphism a.svg Graph isomorphism b.svg

{\displaystyle p(a)=1}

{\displaystyle p(b)=6}

{\displaystyle p(c)=8}

{\displaystyle p(d)=3}

{\displaystyle p(g)=5}

{\displaystyle p(h)=2}

{\displaystyle p(i)=4}

{\displaystyle p(j)=7}

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 30.10. 2020