L^p-Ergodensatz

Der L^p-Ergodensatz, auch statistischer Ergodensatz genannt, ist ein zentraler Satz der Ergodentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das in dem Bereich zwischen Maßtheorie, Theorie dynamischer Systeme und Wahrscheinlichkeitstheorie anzusiedeln ist. Er beschäftigt sich damit, unter welchen Umständen bei der Iteration einer Abbildung die Mittelwerte über die Iterationen mit den Mittelwerten der Funktion übereinstimmen. Im Gegensatz zum individuellen Ergodensatz beschäftigt sich der ${\mathcal L}^{p}$ -Ergodensatz mit der Konvergenz im p-ten Mittel und nicht mit der fast sicheren Konvergenz. Der Satz wurde 1930/31 von John von Neumann bewiesen, jedoch erst 1932 veröffentlicht. Ein kompakter Beweis ist beispielsweise mittels des Hopf'schen Maximal-Ergodenlemmas und des individuellen Ergodensatzes möglich. Der Satz lässt sich auch allgemeiner auf Hilberträumen mit isometrischen Operatoren und der Normkonvergenz formulieren.

Aussage

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal A},P)$ und $T: \Omega \to \Omega$ eine maßerhaltende Abbildung sowie $\mathcal I$ die σ-Algebra der T-invarianten Ereignisse. Sei $\mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, P)$ der Raum aller -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe auch L^p-Raum), kurz mit ${\mathcal L}^{p}$ bezeichnet, sowie $\operatorname E (g|\mathcal S)$ der bedingte Erwartungswert von bezüglich der σ-Algebra ${\mathcal {S}}$ .

Ist $p \in [1, \infty)$ , dann gilt für alle $f\in {\mathcal L}^{p}$ , dass auch $\operatorname E (f|\mathcal I )$ in ${\mathcal L}^{p}$ liegt und

$\lim_{n \to \infty} \biggl\Vert\frac 1n \sum_{i=0}^{n-1}f \circ T^{i}- \operatorname E (f|\mathcal I ) \biggr\Vert_{\mathcal L^p}=0$ .

Hierbei bezeichnet $\|\cdot \|_{\mathcal L^p}$ die L^p-Norm.

Ist $\mathcal I$ P-trivial (bzw. äquivalent dazu eine ergodische Transformation), so gilt $\operatorname E (f|\mathcal I )= \operatorname E (f )$ und demnach

$\lim_{n \to \infty} \biggl\Vert\frac 1n \sum_{i=0}^{n-1}f \circ T^{i}- \operatorname E (f) \biggr\Vert_{\mathcal L^p}=0$ .

Die Mittelwerte der iterierten Abbildungen konvergieren also im p-ten Mittel gegen den (bedingten) Erwartungswert.

Anwendung in der Stochastik

Der ${\mathcal L}^{p}$ -Ergodensatz lässt sich wie folgt auf stochastische Prozesse anwenden: Dazu betrachtet man einen kanonischen Prozess $X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)=(E^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(E)^{\otimes E},P)$ , wobei ein polnischer Raum wie beispielsweise eine endliche oder abzählbar unendliche Menge oder der $\mathbb {R} ^{n}$ ist. Die Transformation definiert man dann als den Shift $\tau: \Omega \to \Omega$ , der gegeben ist durch

$\tau((\omega_n)_{n \in \N})=(\omega_{n+1})_{n \in \N}$ .

Für den stochastischen Prozess gilt also $X_n(\omega)=X_0(\tau^n(\omega))$ und $(\Omega, \mathcal A, P, \tau)$ ist genau dann ein maßerhaltendes dynamisches System, wenn ein stationärer stochastischer Prozess ist.

Setzt man nun f=X_0 , wobei $X_0 \in \mathcal L^p$ sein soll, sowie $\tau =T$ , so folgt, dass für stationäre Prozesse

$\lim_{n \to \infty} \biggl\Vert\frac 1n \sum_{i=0}^{n-1}X_i- \operatorname E (X_0|\mathcal I) \biggr\Vert_{\mathcal L^p}=0$

gilt. Ist $\mathcal I$ wieder eine P-triviale σ-Algebra (bzw. $\tau$ eine ergodische Transformation oder ein ergodischer stochastischer Prozess), so folgt genauso wie oben, dass $\operatorname E (X_0|\mathcal I )= \operatorname E (X_0)$ ist.

Literatur

Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de

Lp-Ergodensatz

Aussage

Anwendung in der Stochastik

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L^p-Ergodensatz