σ-Algebra der invarianten Ereignisse
Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Ergodentheorie
Verwendung findet. Dort dient sie beispielsweise zur Definition der Ergodizität oder zur
Formulierung des individuellen
Ergodensatzes und des Lp-Ergodensatzes.
Definition
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine messbare Abbildung.
Ein heißt ein invariantes Ereignis, wenn ist.
Die Menge aller invarianten Ereignisse, also
- ,
heißt dann die σ-Algebra der invarianten Ereignisse.
Eigenschaften
- Dass tatsächlich eine σ-Algebra ist, folgt direkt aus der Verträglichkeit der Urbildoperation mit den Mengenoperationen.
- Eine Funktion von nach ist genau dann -messbar, wenn sie -messbar ist und gilt.
Quasi-invariante Ereignisse
Eine Abschwächung des Begriffes eines invarianten Ereignisses ist ein quasi-invariantes Ereignis. Dabei wird die Gleichheit nur fast sicher gefordert. Demnach heißt ein quasi-invariant, wenn
gilt. Auch die quasi-invarianten Ereignisse bilden für maßerhaltende Abbildungen eine σ-Algebra, sie ist gegeben durch
- .
Tatsächlich unterscheiden sich die quasi-invarianten Ereignisse und die invarianten Ereignisse kaum, denn es lässt sich zeigen, dass für jedes ein gibt, so dass ist. Es lässt sich also zu jeder quasi-invarianten Menge immer eine invariante Menge finden, so dass diese sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
- Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.01. 2021