σ-Algebra der invarianten Ereignisse


Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Ergodentheorie Verwendung findet. Dort dient sie beispielsweise zur Definition der Ergodizität oder zur Formulierung des individuellen Ergodensatzes und des Lp-Ergodensatzes.

Definition

Sei (\Omega ,{\mathcal  A},P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und  T: \Omega \to \Omega eine messbare Abbildung.

Ein A\in {\mathcal  A} heißt ein invariantes Ereignis, wenn {\displaystyle T^{-1}(A)=A} ist.

Die Menge aller invarianten Ereignisse, also

{\displaystyle {\mathcal {I}}:=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,T^{-1}(A)=A\}},

heißt dann die σ-Algebra der invarianten Ereignisse.

Eigenschaften

Quasi-invariante Ereignisse

Eine Abschwächung des Begriffes eines invarianten Ereignisses ist ein quasi-invariantes Ereignis. Dabei wird die Gleichheit nur fast sicher gefordert. Demnach heißt ein A\in {\mathcal  A} quasi-invariant, wenn

{\displaystyle \chi _{A}=\chi _{T^{-1}(A)}\quad P{\text{-fast sicher}}}

gilt. Auch die quasi-invarianten Ereignisse bilden für maßerhaltende Abbildungen T eine σ-Algebra, sie ist gegeben durch

{\displaystyle {\mathcal {I}}_{P}:=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,\chi _{A}=\chi _{T^{-1}(A)}\ P{\text{-fast sicher}}\}}.

Tatsächlich unterscheiden sich die quasi-invarianten Ereignisse und die invarianten Ereignisse kaum, denn es lässt sich zeigen, dass für jedes {\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{P}} ein {\displaystyle B\in {\mathcal {I}}} gibt, so dass {\displaystyle P(A\,\triangle \,B)=0} ist. Es lässt sich also zu jeder quasi-invarianten Menge immer eine invariante Menge finden, so dass diese sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.01. 2021