Maßerhaltende Abbildung

Maßerhaltende Abbildungen, manchmal auch maßtreue Abbildungen genannt, sind Selbstabbildungen eines Wahrscheinlichkeitsraums, die das Wahrscheinlichkeitsmaß erhalten. Man spricht auch von maßerhaltenden dynamischen Systemen, insbesondere wenn man das Verhalten der Abbildung unter Iteration betrachtet.

Maßerhaltende Abbildungen sind das Thema der Ergodentheorie innerhalb der Theorie der dynamischen Systeme.

Definition

Sei (X,\Sigma,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, d.h., X sei eine Menge, \Sigma\subset \mathcal P(X) die σ-Algebra der messbaren Mengen und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Eine messbare Abbildung

T : [0,1) → [0,1), x \mapsto 2x \mod 1 ist eine maßerhaltende Abbildung für das Lebesgue-Maß auf [0,1].
f\colon X\to X

heißt maßerhaltende Abbildung, wenn für alle A\in\Sigma

{\displaystyle P(f^{-1}(A))=P(A)}

gilt.

Man beachte, dass für eine maßerhaltende Abbildung nicht notwendig P(f(B))=P(B) für die messbaren Mengen B gelten muss, dass also nur Urbilder und nicht unbedingt Bilder messbarer Mengen dasselbe Maß haben. Das Bild rechts zeigt die Bernoulli-Abbildung (Winkelverdopplung) T(x)=2x \mod 1. Diese Abbildung ist maßerhaltend, zum Beispiel gilt für jedes Intervall T^{-1}(a,b)=(\frac{a}{2},\frac{b}{2})\cup(\frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2}), also

P(T^{-1}(a,b))=\frac{b-a}{2}+\frac{b-a}{2}=b-a=P(a,b).

Trotzdem müssen Bildmengen nicht dasselbe Maß wie die Ursprungsmenge haben, zum Beispiel ist P(0,\frac{1}{2})=0{,}5, aber P(T(0,\frac{1}{2}))=P(0,1)=1.

Beispiele

Maßerhaltende Abbildungen

Maßerhaltende dynamische Systeme

Eine wichtige Klasse von maßerhaltenden dynamischen Systemen bilden die stationären stochastischen Prozesse in diskreter Zeit. Dazu definiert man einen kanonischen Prozess  (\Omega, \mathcal A, P)= (E^{\times \N}, \mathcal B (E)^{\otimes E},P) und den Shift-Operator \tau als

{\displaystyle \tau ((\omega _{n})_{n\in \mathbb {N} })=(\omega _{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}.

Dann ist  X_n(\omega)=X_0(\tau^n(\omega)) und  (\Omega, \mathcal A, P, \tau) ist ein dynamisches System, das aufgrund der Stationarität maßerhaltend ist.

Invarianten

Eine die Chaotizität maßerhaltender Abbildungen messende Invariante ist die Kolmogorow-Sinai-Entropie.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.03. 2021