Ganzzahlige unimodulare Matrix
Eine ganzzahlige unimodulare Matrix, im entsprechenden Kontext auch nur unimodulare Matrix, ist in der Algebra eine quadratische Matrix, deren Einträge alle
ganzzahlig sind und deren Determinante
oder
ist. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass die Einträge ganzzahlig sind, die Matrix invertierbar ist,
und die inverse Matrix ebenfalls nur ganzzahlige Einträge besitzt. Die ganzzahligen unimodularen Matrizen mit
Zeilen und Spalten bilden mit der Matrizenmultiplikation die
spezielle lineare Gruppe
.
Definition
Eine quadratische Matrix
heißt unimodular, falls für ihre Determinante
gilt.
Beispiele
Die Matrix
ist unimodular: Ihre Determinante ist
. Die inverse Matrix
ist wiederum ganzzahlig und unimodular. Wichtige Klassen ganzzahliger unimodularer Matrizen sind Permutationsmatrizen, für die genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte
ist, und monomiale Matrizen, bei denen genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte
oder
ist, und alle übrigen Einträge
sind.
Eigenschaften
Jede ganzzahlige unimodulare Matrix ist regulär und ihre Inverse ist wiederum ganzzahlig und unimodular.
Auch das Produkt zweier unimodularer Matrizen
ergibt wieder eine unimodulare Matrix aufgrund des
Determinantenproduktsatzes
.
Die ganzzahligen unimodularen Matrizen mit einer festen Anzahl an Zeilen und Spalten bilden daher mit der Multiplikation eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe
. Anders ausgedrückt handelt es sich um die Automorphismengruppe der freien abelschen Gruppe
vom Rang
,
, mit komponentenweiser Addition. Auch das Kronecker-Produkt
zweier unimodularer Matrizen
und
ergibt wieder eine unimodulare Matrix, denn es gilt
.
Aufgrund der Eigenschaft, dass die Inverse einer ganzzahligen unimodularen Matrix
wieder ganzzahlig ist, gilt insbesondere für alle Gleichungssysteme
mit einem Vektor
,
der nur ganzzahlige Werte enthält, dass ihre Lösung ganzzahlig ist.
Verwendung
In der Festkörperphysik und insbesondere der Kristallographie treten ganzzahlige unimodulare Matrizen als Transformationen zwischen primitiven Einheitszellen auf: Es lässt sich eine Operation der unimodularen Matrizen auf dem
so wählen, dass sie ein gegebenes Gitter auf sich selbst und
jede primitive Einheitszelle eines Gitters wiederum auf eine solche abbilden. Je zwei primitive Einheitszellen lassen sich über eine unimodulare Matrix ineinander
überführen.[1]
Verallgemeinerung
In der kommutativen Algebra werden unter anderem Matrizen über
kommutativen Ringen betrachtet. Eine Matrix mit ganzzahligen
Einträgen ist gerade eine Matrix über dem Ring der ganzen Zahlen. Es gilt allgemein, dass eine quadratische Matrix über einem kommutativen Ring mit Eins genau dann
invertierbar ist, wenn ihre Determinante eine Einheit ist, das heißt, wenn ihre Determinante
in dem zugrundeliegenden Ring invertierbar ist. Im Ring der ganzen Zahlen sind
und
die einzigen beiden Einheiten (das heißt, sie sind die einzigen ganzen Zahlen mit einem ganzzahligen Kehrwert).
Der Beweis ist konstruktiv durch Verwendung der Adjunkten möglich.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Shoon Kyung Kim: Group Theoretical Methods and Applications to Molecules
and Crystals. Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-511-03620-5,
S. 297
(
Google Books).



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.03. 2025