Total unimodulare Matrix

Eine total unimodulare Matrix (oder auch vollständig unimodulare Matrix) ist eine Matrix mit ganzzahligen Einträgen, bei der noch weitere Forderungen an deren Unterdeterminanten gestellt sind. Total unimodulare Matrizen spielen in der diskreten Optimierung eine Rolle, da sie unter bestimmten Bedingungen die Ganzzahligkeit der Lösung eines linearen Optimierungsproblems garantieren.

Definition

Sei {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}} eine Matrix. Dann heißt {\displaystyle A} total unimodular (manchmal auch absolut unimodular oder vollständig unimodular) genau dann, wenn jede Unterdeterminante von {\displaystyle A} einen der Werte {\displaystyle -1} oder {\displaystyle 0} oder {\displaystyle 1} hat. Insbesondere sind dann alle Elemente (also alle {\displaystyle 1\times 1}-Untermatrizen) von {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}} in {\displaystyle \{-1,0,1\}}.

Alternativ formuliert ist eine total unimodulare Matrix eine (nicht notwendigerweise quadratische) Matrix, bei der alle quadratischen, nichtsingulären Untermatrizen ganzzahlig unimodular sind.

Eigenschaften

Beispiel

Betrachte die Matrix

{\displaystyle A:={\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}}}
  1. Alle Einträge sind entweder {\displaystyle 0} oder {\displaystyle 1} und damit auch alle {\displaystyle 1\times 1}-Untermatrizen
  2. Enthält eine {\displaystyle 2\times 2} Matrix nur Einträge aus {\displaystyle \{-1,0,1\}} und dabei mindestens eine Null, so ist ihre Determinante auch aus {\displaystyle \{-1,0,1\}}. Insbesondere sind die Determinanten aller {\displaystyle 2\times 2}-Untermatrizen der obigen Matrix aus {\displaystyle \{-1,0,1\}}.
  3. Mittels der Regel von Sarrus kann man überprüfen, dass auch die Determinanten der {\displaystyle 3\times 3}-Untermatrizen aus {\displaystyle \{-1,0,1\}} sind.

Daher ist die Matrix total unimodular.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.03. 2025