Bipartiter Graph

K3,3: vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge
Ein einfacher, nicht vollständiger, bipartiter Graph mit Partitionsklassen {\displaystyle U} und V

Ein bipartiter oder paarer Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen zwischen den Elementen zweier Mengen. Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. Des Weiteren lassen sich für bipartite Graphen viele Grapheneigenschaften mit deutlich weniger Aufwand berechnen als dies im allgemeinen Fall möglich ist.

Definitionen

Ein einfacher Graph G=(V,E) (V Menge der Knoten, E Menge der Kanten) heißt bipartit oder paar, falls sich seine Knoten in zwei disjunkte Teilmengen A und B aufteilen lassen, sodass zwischen den Knoten innerhalb beider Teilmengen keine Kanten verlaufen. Das heißt für jede Kante \{v,w\} \in E gilt entweder v \in A und w \in B oder v \in B und w \in A. Die Menge  \{A,B\} bezeichnet man dann als Bipartition des Graphen  G und die Mengen  A,B als Partitionsklassen. Vereinfacht dargestellt, ist ein bipartiter Graph ein Graph, in dem zwei Gruppen von Knoten existieren, innerhalb derer keine Knoten miteinander verbunden sind.

Der Graph G heißt vollständig bipartit, falls eine Bipartition \{A,B\} existiert, sodass jeder Knoten aus A mit jedem Knoten aus B verbunden ist. Einen solchen Graphen bezeichnet man auch als K_{m,n}, wobei m und n jeweils die Anzahl der Knoten von A und B sind. Ein vollständig bipartiter Graph, bei dem m=1 oder n=1 ist, heißt Sterngraph.

Eigenschaften

Algorithmen

Mit dem Algorithmus von Hopcroft und Karp lässt sich in O(m\sqrt{n}) eine größte Paarung finden und darüber auch die Stabilitätszahl bestimmen.

Mit einem einfachen Algorithmus, der auf Tiefensuche basiert, lässt sich in linearer Zeit bestimmen, ob ein Graph bipartit ist, und eine gültige Partition bzw. 2-Färbung ermitteln. Dabei wird einem beliebigen Knoten eine Farbe, und seinen Kindern die jeweils komplementäre Farbe zugewiesen. Wird beim Färben festgestellt, dass zwei benachbarte Knoten die gleiche Farbe haben, ist der Graph nicht bipartit.

Anwendung

Verallgemeinerung

Ein k-partiter Graph ist ein Graph, dessen Knotenmenge in k Partitionen unterteilt werden kann, sodass es keine Kante zwischen zwei Knoten einer Partition gibt.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.11. 2020