Ergodische Transformation

Ergodische Transformationen bzw. Ergodische Abbildungen sind Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Theorie dynamischer Systeme. Anschaulich bedeutet Ergodizität einer Abbildung, dass fast alle Punkte des Wahrscheinlichkeitsraumes in einem einzigen Orbit des dynamischen Systems liegen.

Definition

Es sei \mu ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Messraum {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} und T\colon\Omega\to\Omega eine maßerhaltende Abbildung.

Dann ist T eine ergodische Transformation, genau dann wenn für jede Menge A\in {\mathcal  A}, die {\displaystyle T^{-1}(A)=A} erfüllt, immer entweder

{\displaystyle \mu (A)=0\,{\text{ oder }}\,\mu (A)=1}

gilt. Dabei bezeichnet {\displaystyle T^{-1}(A)} das Urbild von A unter T.

Es lassen sich noch weitere, äquivalente Definitionen angeben:

Eigenschaften

\left\{T^nx, n\in \Z\right\}
(mit x\in \Omega ) einer ergodischen Transformation T-invariant sind, muss insbesondere genau ein Orbit Maß 1 und alle anderen Orbits Maß 0 haben. Insbesondere definiert eine invertierbare ergodische Transformation eine ergodische Wirkung der Gruppe der ganzen Zahlen \mathbb {Z} .
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f(T^jx)=\int_{\Omega}f d\mu
für \mu -fast alle x\in \Omega und jede Funktion f\in L^1(\Omega,\mu).

Beispiele

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.02. 2021