P-triviale σ-Algebra

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jeder Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedem Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet wird. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal A},P)$ . Eine σ-Algebra $\mathcal O \subset \mathcal A$ heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle $O \in \mathcal O$ gilt, dass entweder P(O)=0 oder P(O)=1 ist.

Elementare Beispiele

Die triviale σ-Algebra $\{ \Omega, \emptyset\}$ ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer $P(\Omega)=1$ und $P(\emptyset )=0$ gefordert wird.
Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge. Es gilt also $\Omega= N_1 \cup N_2$ und $N_1 \cap N_2= \emptyset$ , so dass und . Dann ist die σ-Algebra $\{\Omega, \emptyset, N_1, N_2\}$ sowohl $P_{1}$ -trivial als auch -trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich und , die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.

Anwendungsbeispiele

Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:

Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist.
Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.

Eigenschaften

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal A},P)$ ist eine P-triviale σ-Algebra $\mathcal O \subset \mathcal A$ von jedem anderen Mengensystem $\mathcal M \subset \mathcal A$ unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.

Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist: Wenn ${\mathcal O}$ P-trivial ist, dann gilt für den bedingten Erwartungswert $\operatorname E (X|\mathcal O)=\operatorname E(X)$ , denn $\sigma (X)$ und ${\mathcal O}$ sind voneinander unabhängig. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem L^p-Ergodensatz.

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de