Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage

Das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie, der wie alle Null-Eins-Gesetze Aussagen darüber trifft, wann ein Ereignis fast sicher (also mit Wahrscheinlichkeit 1) eintritt oder fast unmöglich ist (also Wahrscheinlichkeit 0 besitzt).

Aussage

Gegeben sei eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen (X_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} und {\mathcal  E} die austauschbare σ-Algebra der Folge. Dann ist {\mathcal  E} P-trivial, es ist also für jedes Ereignis  E \in \mathcal E entweder  P(E)=0 oder  P(E)=1 .

Herleitung

Die Herleitung basiert auf dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz. Dieses besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen immer P-trivial ist. Da aber unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen immer auch austauschbare Familie von Zufallsvariablen sind gilt dann auch für jedes austauschbare Ereignis  E \in \mathcal E , dass ein terminales Ereignis  B \in \mathcal T existiert, so dass {\displaystyle P(E\,\triangle \,B)=0} gibt. Daraus folgt die Aussage.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.02. 2021