Laplace-Verteilung
Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung oder zweiseitige Exponentialverteilung bezeichnet.
Definition
Eine stetige Zufallsgröße unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter und dem Skalenparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt.
Ihre Verteilungsfunktion lautet
Mittels der Signum-Funktion lässt sie sich geschlossen darstellen als
- .
Eigenschaften
Symmetrie
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt .
Erwartungswert, Median, Modalwert
Der Parameter ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.
Varianz
Die Varianz wird durch den Parameter bestimmt.
Schiefe
Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist
- .
Kurtosis
Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).
Kumulanten
Alle Kumulante mit ungeradem Grad sind gleich Null. Für gerade gilt
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern und lautet
- , für
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument durch ersetzt, man erhält:
- .
Entropie
Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt
- .
Zufallszahlen
Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.
Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei
- .
Zu einer Folge von Standardzufallszahlen lässt sich daher eine Folge
doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Normalverteilung
Sind unabhängige standardnormalverteile Zufallsgrößen, dann ist standardlaplaceverteilt ().
Beziehung zur Exponentialverteilung
Eine Zufallsvariable , die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen und mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.
Beziehung zur Rademacher-Verteilung
Ist Rademacher-Verteilt, und ist Exponentialverteilt zum Parameter , so ist Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern .
Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung
Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel).
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.03. 2023