Baire-Raum (allgemein)

Ein Baire-Raum, auch Baire’scher Raum genannt, ist ein spezieller topologischer Raum in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik. Baire-Räume sind nach René Louis Baire benannt und besitzen gewisse Regularitätseigenschaften. So sind sie aus topologischer Sicht groß in dem Sinne, dass sie nicht mager sind und demnach nicht als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen geschrieben werden können.

In Baire-Räumen gelten viele weitreichende Implikationen, insbesondere für die Funktionalanalysis. So lassen sich der Satz von Banach-Steinhaus, das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und der Satz über die offene Abbildung aus der Tatsache ableiten, dass jeder vollständige metrische Raum ein Baire-Raum ist.

Definition

Gegeben sei ein topologischer Raum {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}. Eine Menge heißt nirgends dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Des Weiteren heißt eine Menge mager, wenn sie die Vereinigung von abzählbar vielen nirgends dichten Mengen ist.

Der topologische Raum X heißt nun ein Baire-Raum, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

(a) Das Komplement jeder mageren Menge ist dicht in X.
(b) Eine nichtleere offene Teilmenge von X ist niemals mager.
(c) Jede Vereinigung von höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Teilmengen von X ohne innere Punkte ist ihrerseits ohne innere Punkte.
(d) Jeder Schnitt von höchstens abzählbar vielen offenen, in X dichten Teilmengen ist wieder dicht in X.

Es existieren auch abweichende Benennungen. So werden Komplemente von mageren Mengen auch komagere Mengen genannt, magere Mengen auch als Mengen erster Kategorie und nicht magere Mengen als Mengen zweiter Kategorie bezeichnet.

Beispiele und Eigenschaften

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.03. 2023