Magere Menge

Eine magere Menge, auch Menge (von) erster (Baire-)Kategorie genannt, ist in der mengentheoretischen Topologie eine Menge, die aus topologischer Sicht eine geringe Ausdehnung hat. Eine Menge, die nicht mager ist, wird auch eine fette Menge oder eine Menge (von) zweiter (Baire-)Kategorie genannt. Im Gegensatz dazu heißt das Komplement einer mageren Menge eine komagere Menge oder eine residuelle Menge.

Anwendung finden diese Begriffe beispielsweise bei der Formulierung des Kategoriesatzes von Baire, der besagt, dass vollständige metrische Räume "topologisch groß" sind, sowie bei der Abstraktion dieser Eigenschaft mittels Baire-Räumen.

Zu beachten ist, dass entgegen der Benennung als Menge erster/zweiter Kategorie kein direkter Bezug zur Kategorientheorie besteht.

Definition

Gegeben sei ein Topologischer Raum (X,\tau ). Eine Menge A heißt mager oder von erster (Baire-)Kategorie, wenn sie die abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen ist.

Dabei heißt eine Menge nirgends dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist.

Aufbauende Begriffe

Eine Menge heißt eine komagere oder residuelle Menge, wenn sie das Komplement einer mageren Menge ist.

Eine Menge, die nicht mager ist, heißt fett oder von zweiter (Baire-)Kategorie.

Beispiele

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 28.09. 2018