T1-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T1-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das T1-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition

Sei X ein topologischer Raum. X heißt T1-Raum, falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein T1-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum, genau in einem T0-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann T1 erfüllt, wenn er sowohl ein R0-Raum und ein T0-Raum ist.

Beispiele

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T1. Um das zu sehen betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate (c_1,\ldots c_n). Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome X-c_1,\ldots,X-c_n. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen \mathbb {Z} . Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt O_A = \Z \setminus A mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge O_{\{y\}} ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält O_{\{x\}} das Element y aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T1-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T2-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt O_{A}\cap O_{B} = O_{A\cup B}, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T2-Raum nie der Fall sein kann.

Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das T1-Axiom erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste T1-Topologie auf einer Menge.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 09.06. 2020