R0-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind R0-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Die Eigenschaft, ein R0 zu sein, wird zu den sogenannten Trennungsaxiomen gezählt.

Definition

Gegeben seien ein topologischer Raum X und zwei Punkte x und y in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, wenn x und y jeweils in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.

X heißt R0-Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R0-Raum wird auch symmetrischer Raum genannt.

Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar

Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum.

Ist X ein R0-Raum, so gilt dies auch für jeden Teilraum.

Ist (Xi) eine Familie von R0-Räumen, so ist auch deren Produktraum ein R0-Raum und umgekehrt.

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 11.10. 2017