Z2 (Gruppe)

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 (\Z_2 oder C_{2}) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S_{2}, zur ersten Diedergruppe D_{1} und zur orthogonalen Gruppe O(1) im Eindimensionalen.

Eigenschaften

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe \Z_2 der additiven Gruppe der ganzen Zahlen \mathbb {Z} nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

+ 0 1
0 0 1
1 1 0

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe \{1,2\} der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}} isomorph zu \Z_2 ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

\cdot 1 2
1 1 2
2 2 1

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes \mathbb {Z} . Diese ist {\displaystyle \{-1,1\}\subset \mathbb {Z} } und man erhält die Verknüpfungstafel

\cdot 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

2 als Untergruppe

Darstellungen

Jede nichttriviale Darstellung der \Z_2 bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der \Z_2.

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der \Z_2 entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

2 als Körper

Die Gruppe {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}} mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf \Z_2 ist durch die Verknüpfungstafel

\cdot 0 1
0 0 0
1 0 1

gegeben. Beachte, dass \Z_2 mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet. Die beiden Verknüpfungen + und \cdot zusammen machen \Z_2 zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit F_{2} oder \mathbb {F} _{2} bezeichnet.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.01. 2021