Frobeniushomomorphismus

Der Frobeniushomomorphismus oder Frobenius-Endomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen, deren Charakteristik eine Primzahl ist. Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Frobeniusendomorphismus eines Rings

Definition

Es sei R ein kommutativer unitärer Ring mit der Charakteristik p, wobei p eine Primzahl ist. Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung

{\displaystyle \phi _{p}\colon R\to R,\ \ x\mapsto x^{p}}

bezeichnet. Sie ist ein Ringhomomorphismus.

Ist q=p^e, dann ist auch

{\displaystyle \phi _{q}=\phi _{p}^{e}\colon R\to R,\ \ x\mapsto x^{q}}

ein Ringhomomorphismus.

Beweis der Homomorphieeigenschaft

Die Abbildung \phi_p ist verträglich mit der Multiplikation in R, da aufgrund der Potenzgesetze

\phi_p(x \cdot y) = (x \cdot y)^p = x^p \cdot y^p = \phi_p(x) \cdot \phi_p(y)

gilt. Ebenso gilt \phi_p(1) = 1^p = 1. Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in R verträglich, das heißt, es gilt \phi_p(x+y) = \phi_p(x) + \phi_p(y) Mit Hilfe des Binomialsatzes folgt nämlich

(x+y)^p = x^p + \left( \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k} x^{p-k}y^{k} \right) + y^p

Da p eine Primzahl ist, teilt p zwar p! aber nicht m! für  m < p. Da die Charakteristik p deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten

\binom p k = \frac {p!}{k! (p-k)!}

teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten in der obigen Formel. Die Addition vereinfacht sich zu

(x+y)^p = x^p + y^p

und ist verträglich mit der Addition in R. Diese Gleichung wird im englischsprachigen Raum als Freshman’s Dream (der Traum des Anfängers) bezeichnet.

Verwendung

Im Folgenden ist p stets eine Primzahl und q eine Potenz von p. Alle vorkommenden Ringe oder Körper haben Charakteristik p.

A^{p^{-\infty}}=\varinjlim\left(A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} \dots\right)

Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Körpern

Die folgenden Annahmen dienen dazu, sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung algebraischer Zahlkörper als auch lokaler Körper zu beschreiben. Sei A ein Dedekindring, K sein Quotientenkörper, L/K eine endliche Galoiserweiterung, B der ganze Abschluss von A in L. Dann ist B ein Dedekindring. Sei weiter {\mathfrak {P}} ein maximales Ideal in B mit endlichem Restklassenkörper \lambda=B/\mathfrak{P}, außerdem \mathfrak{p}=\mathfrak{P}\cap A und \kappa=A/\mathfrak{p}. Die Körpererweiterung \lambda /\kappa ist galoissch. Sei G die Galoisgruppe von L/K. Sie operiert transitiv auf den über {\mathfrak {p}} liegenden Primidealen von B. Sei G_{\mathfrak{P}} die Zerlegungsgruppe, d.h. der Stabilisator von {\mathfrak {P}}. Der induzierte Homomorphismus

r: G_{\mathfrak{P}}\to\text{Gal}(\lambda/\kappa)

ist surjektiv. Sein Kern ist die Trägheitsgruppe.

Es sei nun {\mathfrak {P}} unverzweigt, d.h. \mathfrak{p}B_{\mathfrak{P}}=\mathfrak{P}. Dann ist der Homomorphismus r ein Isomorphismus. Der Frobeniusautomorphismus \text{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\text{Gal}(L/K) (auch Frobeniuselement) ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus \phi_{|\kappa|}\in\text{Gal}(\lambda/\kappa) unter r. Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert:

\text{Frob}_{\mathfrak{P}} b \equiv b^{|\kappa|} \mod \mathfrak{P}

Weil G auf den Primidealen über {\mathfrak {p}} transitiv operiert, sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen konjugiert, so dass ihre Konjugationsklasse durch {\mathfrak {p}} eindeutig festgelegt ist. Falls die Erweiterung L/K abelsch ist, erhält man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus \text{Frob}_{\mathfrak{p}}\in\text{Gal}(L/K).

Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung für die Klassenkörpertheorie: In der idealtheoretischen Formulierung wird die Reziprozitätsabbildung von der Zuordnung \mathfrak{p}\mapsto\text{Frob}_{\mathfrak{p}} induziert. Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes. Ferdinand Georg Frobenius hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet, deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt.

Absoluter und relativer Frobenius für Schemata

Definition

Sei p eine Primzahl und X ein Schema über \mathbb{F}_p. Der absolute Frobenius {\displaystyle \phi _{X}\colon X\to X} ist definiert als Identität auf dem topologischen Raum und p-Potenzierung auf der Strukturgarbe. Auf einem affinen Schema \text{Spec }A ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben, wie man an den globalen Schnitten ablesen kann. Dass die Primideale fest bleiben, übersetzt sich in die Äquivalenz a\in\mathfrak{p}\iff a^p\in\mathfrak{p}.

Sei nun X\to S ein Morphismus von Schemata über \mathbb{F}_p. Das Diagramm

\begin{matrix}
X & \stackrel{\phi_X}{\longrightarrow} & X \\
\downarrow & & \downarrow \\
S & \stackrel{\phi_S}{\longrightarrow} & S
\end{matrix}

kommutiert und induziert den relativen Frobeniusmorphismus

{\displaystyle F_{X/S}\colon X\to X^{(p/S)}=S\times _{\phi _{S},S}X}

der ein Morphismus über S ist. Ist S=\text{Spec }A das Spektrum eines perfekten Rings A, dann ist \phi_S ein Isomorphismus, also X^{(p/S)}\cong X, aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus über S.

Beispiel

T_i\mapsto T_i^p

Eigenschaften

Satz von Lang

Ein Satz von Serge Lang besagt: Sei G ein algebraisches oder affines zusammenhängendes Gruppenschema über einem endlichen Körper \mathbb {F} _{q}. Dann ist der Morphismus

L: x\mapsto x^{-1}\cdot F_q(x)

treuflach. Ist G algebraisch und kommutativ, ist L also eine Isogenie mit Kern G(\mathbb{F}_q), die Lang-Isogenie. Ein Korollar ist, dass jeder G-Torsor trivial ist.

Beispiele:

Frobenius und Verschiebung für kommutative Gruppen

Sei S ein Schema und G/S ein flaches kommutatives Gruppenschema. Die obige Konstruktion realisiert G^{(p/S)} als Unterschema des symmetrischen Produkts G^p/S_p (falls dieses existiert, andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von G^p arbeiten), und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhält man einen kanonischen Morphismus {\displaystyle V_{G/S}\colon G^{(p/S)}\to G}, die Verschiebung. Der Name kommt daher, dass die Verschiebung bei Wittvektoren die Abbildung

(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,\dots)

ist.

Es gilt:

(Multiplikation mit p in der Gruppe G bzw. G^{(p)}).
F_{D(G)/S}=D(V_{G/S}),\ \ V_{D(G)/S}=D(F_{G/S})

Eine endliche kommutative Gruppe G über einem Körper ist genau dann

Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von F und V ist der Ausgangspunkt der Dieudonné-Theorie.

Beispiele:

0\to {}_{F^n} X \to {}_{p^n} X \stackrel{F^n}{\longrightarrow} {}_{V^n} X^{(p^n)} \to 0

Arithmetischer und geometrischer Frobenius

Sei X ein Schema über k=\mathbb{F}_q, weiter \bar{k} ein algebraischer Abschluss von k und \overline{X}=X\times_{\text{Spec }k} \text{Spec }\bar{k}. Der Frobeniusautomorphismus \phi_q\in\text{Gal}(\bar{k}/k) wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt, der inverse Automorphismus \phi_q^{-1} geometrischer Frobenius. Weil \overline {X} über k definiert ist, ist \overline{X}^{(q/\bar{k})}\cong\overline{X}, und der relative Frobenius ist F_{\overline{X}/\bar{k}}=\phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}}. Es gilt (auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius)

\phi_{q,\overline{X}}=(\text{id}_X\times\phi_{q,\bar{k}})\circ(\phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}})

Ist G eine konstante Garbe auf \overline{X}_{\text{et}}, induziert \phi_{q,\overline{X}} die Identität auf der Kohomologie von G, so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius \phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}} mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente \phi_{q,X} und der geometrische Frobenius \text{id}_X\times\phi_{q,\bar{k}}^{-1} dieselbe Wirkung haben.

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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 23.10. 2019