Lokaler Körper

Ein lokaler Körper ist ein Körper, der ein vollständiger metrischer Raum ist. Lokale Körper treten in der algebraischen Zahlentheorie als Vervollständigungen von globalen Körpern auf.

Zu den lokalen Körpern gehören insbesondere die reellen und komplexen Zahlen (archimedische lokale Körper der Charakteristik 0) und die p-adischen Zahlen sowie deren endliche Erweiterungen (nicht-archimedische lokale Körper der Charakteristik 0).

Hauptteil

Je nachdem ob die Metrik archimedisch oder nicht-archimedisch ist (siehe Betragsfunktion), spricht man von archimedischen oder nicht-archimedischen lokalen Körpern.

Nach dem Satz von Ostrowski sind die einzigen bezüglich einer archimedischen Metrik vollständigen Körper die Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ und der komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ mit der üblichen Betragsfunktion. Diese bilden die archimedischen lokalen Körper.

Ein nicht-archimedischer lokaler Körper ist ein Körper, der vollständig bezüglich einer nicht-trivialen diskreten Bewertung ist und der einen endlichen Restklassenkörper besitzt. Eine äquivalente Definition ist, dass der Körper als topologischer Raum lokalkompakt ist. Häufig wird in der Literatur auch nur dieser Fall betrachtet, da lokale Körper meist im Rahmen der Zahlentheorie als Vervollständigungen globaler Körper betrachtet werden, das heißt als endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ oder des Körpers der Laurent-Reihen bzw. rationalen Funktionen über endlichen Körpern $\mathbb {F} _{p}(T)$ , ersterer Fall ist der Zahlkörper-Fall, letzterer ist der Fall eines Funktionenkörpers.

Ein lokaler Körper der Charakteristik $0$ ist für archimedische Körper nach obigem Satz von Ostrowski isomorph zu $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ . Im nicht-archimedischen Fall sind die lokalen Körper der Charakteristik 0 die p-adischen Zahlen $\mathbb{Q}_p$ (p prim) oder endliche algebraische Erweiterungen der p-adischen Zahlen.

Für endliche Charakteristik $p>0$ ist die Betragsfunktion (Metrik) notwendig nicht-archimedisch, die zugehörigen lokalen Körper also alle nicht-archimedisch. Die lokalen Körper der Charakteristik sind isomorph zum Körper der formalen Laurentreihen $\mathbb {F} _{q}(T)$ über einem endlichen Körper der Charakteristik ( $q=p^{r}$ für ein $r\in \mathbb{N}$ ) und deren algebraischen Erweiterungen.

In der Zahlentheorie ist man an Lösungen von Gleichungen über dem Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ interessiert, einem globalen Körper, der die Charakteristik $0$ hat. Nach dem Satz von Ostrowski gibt es hier zwei Arten von Betragsfunktionen, einmal archimedisch (bezüglich der sich die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen vervollständigen lassen) und eine Familie nicht-archimedischer Bewertungen (bezüglich der sie sich zu den p-adischen Zahlen vervollständigen lassen). Die zugehörigen lokalen Körper sind die reellen und p-adischen Zahlen. Nach dem Hasse-Prinzip (Lokal-Global-Prinzip nach Helmut Hasse) kann man manchmal von der Lösbarkeit über lokalen Körpern auf die Lösbarkeit im globalen Körper der rationalen Zahlen schließen, etwa für nicht-ausgeartete quadratische Formen. Mit Hilfe lokaler Körper wird die lokale Klassenkörpertheorie formuliert, ebenfalls begründet durch Hasse, und von Claude Chevalley zum Aufbau der globalen Klassenkörpertheorie ohne Rückgriff auf Methoden der analytischen Zahlentheorie benutzt. Die Darstellung der lokalen Klassenkörpertheorie mit Hilfe der Gruppenkohomologie ist seit dem Seminar von Emil Artin und John T. Tate ein Standardzugang und zum Beispiel in dem Buch von Serre Local Fields dargestellt.

Wie bei den Begriffen "lokaler Ring" und "Lokalisierung" in der Algebra hat die Bezeichnung lokal ihren Ursprung in der Analogie des Zahlkörper-Falls mit dem Fall eines Funktionenkörpers über einer komplexen algebraischen Kurve (riemannsche Fläche), wo „lokal“ das Verhalten der Funktionen in der Umgebung eines Punktes beschreibt und „global“ die Möglichkeit, die in einer lokalen Umgebung von Punkten etwa über eine Potenzreihe definierte Funktion auf der ganzen riemannschen Fläche zu einer globalen Funktion zusammenzufügen.

Verallgemeinerungen

Es gibt eine Verallgemeinerung der lokalen Körper durch die sogenannten höheren lokalen Körper. Für $n\in \mathbb {N}$ ist ein n-lokaler Körper ein Körper, der vollständig bezüglich einer diskreten Bewertung ist, und dessen Restklassenkörper ein (n-1)-lokaler Körper ist. Die 1-lokalen Körper sind dabei die gewöhnlichen lokalen Körper. Zum Beispiel sind $\mathbb {Q} _{p}((t))$ oder $\mathbb {F} _{p}((t_{1}))((t_{2}))$ 2-lokale Körper.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de