Abelsche Erweiterung
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist eine abelsche Erweiterung eine galoissche Körpererweiterung mit abelscher Galoisgruppe. Im Spezialfall einer zyklischen Galoisgruppe liegt eine zyklische Erweiterung vor.
Die Klassenkörpertheorie beschreibt die abelschen Erweiterungen von Zahlkörpern, Funktionenkörpern von algebraischen Kurven über endlichen Körpern und lokalen Körpern.
Erweiterungen, die durch Adjunktion
von Einheitswurzeln
hervorgehen, sind abelsch, also beispielsweise alle algebraischen Erweiterungen
endlicher
Körper. Wenn ein Körper 
bereits eine primitive 
-te
Einheitswurzel enthält und die Charakteristik
von
kein Teiler von
ist, so ist auch jede Erweiterung durch Adjunktion einer -ten
Wurzel eines Elementes von
abelsch, genannt Kummer-Erweiterung.
Adjungiert man alle -ten
Wurzeln eines Elements, so ist die Erweiterung im Allgemeinen nicht mehr
abelsch, sondern ein semidirektes
Produkt, da die Galoisgruppe auf den Wurzeln und den -ten
Einheitswurzeln operiert. Die Kummer-Theorie
beschreibt die abelschen Erweiterungen eines Körpers, und der Satz
von Kronecker-Weber besagt, dass für 
die abelschen Erweiterungen genau die sind, die in den Kreisteilungskörpern
enthalten sind.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.01. 2020