Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: Zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition: Es sei n>2

eine natürliche Zahl. Dann ist der -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung $\mathbb Q(\mu_n)$ von $\mathbb {Q}$ , die durch Adjunktion der Menge $\mu _{n}$ aller -ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften

Ist $\zeta_n$ eine primitive -te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von $\zeta_n$ das -te Kreisteilungspolynom $\Phi_n$ , deshalb ist

$\mathbb Q(\mu_n) = \mathbb Q(\zeta_n)\cong\mathbb Q[T]/(\Phi_n(T)).$

Insbesondere ist der Körpergrad $[\mathbb Q(\mu_n):\mathbb Q]=\varphi(n)$ mit der eulerschen φ-Funktion.

Zwei Kreisteilungskörper $\mathbb Q(\mu_n)$ und $\mathbb Q\mathbb(\mu_m)$ mit sind genau dann gleich, wenn ungerade ist und gilt.

Die Adjunktion der -ten Einheitswurzeln zu $\mathbb Q(\mu_n)$ ergibt $\mathbb Q(\mu_N)$ mit $N=\mathrm{kgV}(m,n).$

Die Erweiterung $\mathbb Q(\mu_n)|\mathbb Q$ ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times;$ ist $\zeta_n$ eine primitive -te Einheitswurzel, so entspricht einem Element $k\in(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ der durch

$\zeta_n\mapsto\zeta_n^k$

definierte Automorphismus von $\mathbb Q(\mu_n).$

Der Ganzheitsring von $\mathbb Q(\mu_n)$ ist $\mathbb Z[\zeta_n]$ mit einer beliebigen primitiven -ten Einheitswurzel $\zeta_n.$

Insbesondere ist der Ganzheitsring von $\mathbb Q(\mu_4)=\mathbb Q(\sqrt{-1})$ gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von $\mathbb Q(\mu_3)=\mathbb Q(\mu_6)=\mathbb Q(\sqrt{-3})$ ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Eine Primzahl $p\ne2$ ist genau dann verzweigt in $\mathbb Q(\mu_n),$ wenn ein Teiler von ist. ist genau dann voll zerlegt, wenn $p\equiv 1\pmod n$ gilt.

Ist $n=\ell^\nu$ eine Primzahlpotenz und $\zeta_n$ eine primitive -te Einheitswurzel, so ist $\ell$ in $\mathbb Q(\mu_n)$ unzerlegt und rein verzweigt. Das einzige Primideal über $\ell$ ist das Hauptideal, das von $1-\zeta_n$ erzeugt wird:

$(\ell)=(1-\zeta_n)^{\varphi(n)}.$

Satz von Kronecker-Weber

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von $\mathbb {Q}$ entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de