Vollkommener Körper

Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können.

Definition

Ein Körper heißt vollkommen, wenn alle irreduziblen Polynome separabel sind, das heißt keine Mehrfachnullstellen in ihrem Zerfällungskörper haben.

Beispiele

Ein Körper ist genau dann vollkommen, wenn er

entweder Charakteristik 0 hat (insbesondere sind die bekannten Körper $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ vollkommen.)

oder

prime Charakteristik hat und der Frobenius-Homomorphismus ein Automorphismus ist. (Insbesondere sind alle endlichen Körper vollkommen.)

Ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers ist der Funktionenkörper $\mathbb {F} _{q}(X)$ für einen endlichen Körper $\mathbb {F} _{q}$ .

Äquivalente Charakterisierungen

Ein Körper ist vollkommen, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.

Kein über irreduzible Polynom hat mehrfache Nullstellen im Zerfällungskörper.
Jede endliche Erweiterung von ist separabel.
Jede algebraische Erweiterung von ist separabel.
Der separable Abschluss von ist algebraisch abgeschlossen.

Basierend auf einem Artikel in:

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