Archimedischer Körper

Beispiel eines archimedischen Körpers: der Hexaederstumpf

Die archimedischen Körper sind eine Klasse von regelmäßigen geometrischen Körpern. Sie sind konvexe Polyeder (Vielflächner) mit folgenden Eigenschaften:

  1. ihre Seitenflächen sind regelmäßige Polygone (Vielecke),
  2. alle Ecken des Körpers verhalten sich zueinander völlig gleich (Uniformität der Ecken), und
  3. sie sind weder platonische Körper noch Prismen oder Antiprismen.

Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 solcher Körper. Sie sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der sie alle vermutlich bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckte. Die Schrift des Archimedes ist nicht erhalten, es ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos (4. Jahrhundert nach Christus) überliefert.

Definition

Die exakte Definition der Uniformität der Ecken bereitet einige Mühe und ist nicht immer einheitlich.

Zunächst betrachtet man alle konvexen Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind und die die globale Uniformität der Ecken erfüllen:

Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken.

Das bedeutet anschaulich:

Zu jedem Paar (a,b) von Ecken des Polyeders ist es möglich, das Polyeder so zu drehen und zu spiegeln, dass die Ecke a dort zu liegen kommt, wo zuvor die Ecke b war, und die beiden Positionen des Polyeders vor und nach der Drehung nicht zu unterscheiden sind.

Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern, die alle diese Eigenschaften erfüllen:

Die archimedischen Körper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen, die die globale Uniformität der Ecken erfüllen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen.

Eigenschaften

An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn abgelesen dieselben Typen von Polygonen zusammen.

Ableitungen aus den platonischen Körpern

Die meisten archimedischen Körper lassen sich auf anschauliche Weise aus den platonischen Körpern ableiten. Die einfachste Operation ist das Abstumpfen, die Rektifikation, das Doppelabstumpfen und die Doppelrektifikation. Dabei handelt es sich um verschieden starke Varianten des Abstumpfens. Die Abstumpfungsebenen (Schnittebenen) werden dabei konzentrisch so weit in Richtung Mittelpunkt des vorliegenden platonischen Körpers geschoben, bis sich Seitenflächen des platonischen Körpers oder diese Schnittebenen in einem Punkt treffen oder Schnittkanten dieser Seitenflächen oder Schnittebenen dieselbe Länge haben wie die verbleibenden Restkanten des ursprünglichen platonischen Körpers. Etwas anspruchsvoller sind die Kantellation, das Abschrägen und die Kantitrunkation. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die entstehenden Körper:

Symmetriegruppe Tetraedergruppe
Tetrahedral reflection domains.png
Oktaedergruppe
Octahedral reflection domains.png
Ikosaedergruppe
Icosahedral reflection domains.png
Operation Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder
Abstumpfen Tetraederstumpf Hexaederstumpf Oktaederstumpf Dodekaederstumpf Ikosaederstumpf
Rektifikation Oktaeder Kuboktaeder Ikosidodekaeder
Doppelabstumpfen Tetraederstumpf Oktaederstumpf Hexaederstumpf Ikosaederstumpf Dodekaederstumpf
Doppelrektifikation Tetraeder Oktaeder Hexaeder Ikosaeder Dodekaeder
Kantellation P1-A3-P1.gif
Kuboktaeder
P2-A5-P3.gif
Rhombenkuboktaeder
P4-A11-P5.gif
Rhombenikosidodekaeder
Abschrägen P1-P5.gif
Ikosaeder
P2-A7.gif
Abgeschrägtes Hexaeder
P4-A13.gif
Abgeschrägtes Dodekaeder
Kantitrunkation Oktaederstumpf Großes Rhombenkuboktaeder Großes Rhombenikosidodekaeder

Im Fall des Tetraeders sind nicht alle entstehenden Polyeder archimedische Körper. Durch Doppelabstumpfen entsteht das Oktaeder und durch Abschrägen entsteht das Ikosaeder.

Die einzelnen archimedischen Körper

Name Bilder Flächen Kanten Ecken Flächenfolge
an den Ecken
Symmetrie-
gruppe
Dualer Körper
Tetraederstumpf Truncatedtetrahedron.jpg Polyhedron truncated 4a max.png 8 4 Dreiecke
4 Sechsecke
18 12 3, 6, 6
Polyhedron truncated 4a vertfig.png
Td Triakistetraeder
Kuboktaeder Cuboctahedron.svg Polyhedron 6-8 max.png 14 8 Dreiecke
6 Quadrate
24 12 3, 4, 3, 4
Polyhedron 6-8 vertfig.png
Oh Rhombendodekaeder
Hexaederstumpf Truncatedhexahedron.svg Polyhedron truncated 6 max.png 14 8 Dreiecke
6 Achtecke
36 24 3, 8, 8
Polyhedron truncated 6 vertfig.png
Oh Triakisoktaeder
Oktaederstumpf Truncatedoctahedron.jpg Polyhedron truncated 8 max.png 14 6 Quadrate
8 Sechsecke
36 24 4, 6, 6
Polyhedron truncated 8 vertfig.png
Oh Tetrakishexaeder
Rhombenkuboktaeder Rhombicuboctahedron.jpg Polyhedron small rhombi 6-8 max.png 26 8 Dreiecke
18 Quadrate
48 24 3, 4, 4, 4
Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.png
Oh Deltoidalikositetraeder
Großes Rhombenkuboktaeder
oder Kuboktaederstumpf
Truncatedcuboctahedron.jpg Polyhedron great rhombi 6-8 max.png 26 12 Quadrate
8 Sechsecke
6 Achtecke
72 48 4, 6, 8
Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig light.png
Oh Hexakisoktaeder
Abgeschrägtes Hexaeder
oder Cubus simus
Snubhexahedroncw.jpg Polyhedron snub 6-8 left max.png 38 32 Dreiecke
6 Quadrate
60 24 3, 3, 3, 3, 4
Polyhedron snub 6-8 left vertfig.png
O Pentagonikositetraeder
Ikosidodekaeder Icosidodecahedron.svg Polyhedron 12-20 max.png 32 20 Dreiecke
12 Fünfecke
60 30 3, 5, 3, 5
Polyhedron 12-20 vertfig.png
Ih Rhombentriakontaeder
Dodekaederstumpf Truncateddodecahedron.jpg Polyhedron truncated 12 max.png 32 20 Dreiecke
12 Zehnecke
90 60 3, 10, 10
Polyhedron truncated 12 vertfig.png
Ih Triakisikosaeder
Ikosaederstumpf
oder Fußballkörper
Truncatedicosahedron.jpg Polyhedron truncated 20 max.png 32 12 Fünfecke
20 Sechsecke
90 60 5, 6, 6
Polyhedron truncated 20 vertfig.png
Ih Pentakisdodekaeder
Rhombenikosidodekaeder Rhombicosidodecahedron.jpg Polyhedron small rhombi 12-20 max.png 62 20 Dreiecke
30 Quadrate
12 Fünfecke
120 60 3, 4, 5, 4
Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.png
Ih Deltoidalhexakontaeder
Großes Rhombenikosidodekaeder
oder Ikosidodekaederstumpf
Truncatedicosidodecahedron.jpg Polyhedron great rhombi 12-20 max.png 62 30 Quadrate
20 Sechsecke
12 Zehnecke
180 120 4, 6, 10
Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig light.png
Ih Hexakisikosaeder
Abgeschrägtes Dodekaeder
oder Dodecaedron simum
Snubdodecahedroncw.jpg Polyhedron snub 12-20 left max.png 92 80 Dreiecke
12 Fünfecke
150 60 3, 3, 3, 3, 5
Polyhedron snub 12-20 left vertfig.png
I Pentagonhexakontaeder

Raumfüllungen mit archimedischen Körpern

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten archimedischen Körper:

Der dreidimensionale euklidische Raum kann mit Oktaederstümpfen lückenlos parkettiert werden kann. Das ist der einzige archimedischen Körper, mit dem das möglich ist.

Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder

Pseudo-Rhombenkuboktaeder

Lange Zeit benutzte man für die Definition der archimedischen Körper nicht die globale, sondern die anschaulichere lokale Uniformität der Ecken. Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass ein konvexes Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen existiert, welches die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht. Es wird als Pseudo-Rhombenkuboktaeder, als Miller’s solid oder als Johnson-Körper J_{37} bezeichnet.

In jeder Ecke dieses Körpers stoßen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen, die lokale Uniformität der Ecken ist also gegeben. Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Körpern können trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden. Dazu ist es aber notwendig, nicht nur die direkten Nachbarflächen der Ecke zu betrachten, sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflächen der Ecke mit einzubeziehen.

Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo-Rhombenkuboktaeder als 14. archimedischen Körper. In der Regel herrscht aber die Meinung vor, dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Körper angesehen werden sollte. Die Forderung der starken Uniformität der Ecken sorgt dann dafür, dass das Pseudo-Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird.

Man kann spekulieren, dass möglicherweise bereits Kepler das Pseudo-Rhombenkuboktaeder kannte: denn einmal spricht er von vierzehn Archimedischen Körpern.

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.10. 2021