Archimedischer Körper

Beispiel eines archimedischen Körpers: der Hexaederstumpf

Die archimedischen Körper sind eine Klasse von regelmäßigen geometrischen Körpern. Sie sind konvexe Polyeder (Vielflächner) mit folgenden Eigenschaften:

ihre Seitenflächen sind regelmäßige Polygone (Vielecke),
alle Ecken des Körpers verhalten sich zueinander völlig gleich (Uniformität der Ecken), und
sie sind weder platonische Körper noch Prismen oder Antiprismen.

Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 solcher Körper. Sie sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der sie alle vermutlich bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckte. Die Schrift des Archimedes ist nicht erhalten, es ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos (4. Jahrhundert nach Christus) überliefert.

Definition

Die exakte Definition der Uniformität der Ecken bereitet einige Mühe und ist nicht immer einheitlich.

Zunächst betrachtet man alle konvexen Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind und die die globale Uniformität der Ecken erfüllen:

Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken.

Das bedeutet anschaulich:

Zu jedem Paar (a,b)

von Ecken des Polyeders ist es möglich, das Polyeder so zu drehen und zu spiegeln, dass die Ecke dort zu liegen kommt, wo zuvor die Ecke

war, und die beiden Positionen des Polyeders vor und nach der Drehung nicht zu unterscheiden sind.

Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern, die alle diese Eigenschaften erfüllen:

Die fünf platonischen Körper.
Alle Prismen, die aus genau zwei kongruenten regelmäßigen n-Ecken und n Quadraten bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl $n \ge 3$ existiert ein solches Prisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und zwei Quadrate zusammen. Im Fall ergibt sich ein Würfel, also ein platonischer Körper.
Alle Antiprismen, die aus genau zwei kongruenten n-Ecken und 2n gleichseitigen Dreiecken bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl $n \ge 3$ existiert ein solches Antiprisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und drei Dreiecke zusammen. Im Fall ergibt sich ein Oktaeder, also ein platonischer Körper.

Die archimedischen Körper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen, die die globale Uniformität der Ecken erfüllen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen.

Eigenschaften

Unterscheidet man nicht zwischen ähnlichen Körpern, so existieren genau 13 archimedische Körper. Von zweien dieser Körper – dem Abgeschrägten Hexaeder und dem Abgeschrägten Dodekaeder – existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, so dass sich nach dieser Zählweise dann insgesamt 15 archimedische Körper ergeben.
Weil die Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, gilt: Alle Kanten eines archimedischen Körpers haben die gleiche Länge.
Aus der globalen Uniformität der Ecken folgt die lokale Uniformität der Ecken:

An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn abgelesen dieselben Typen von Polygonen zusammen.

Aus der lokalen Uniformität der Ecken folgt jedoch im Allgemeinen nicht die globale Uniformität. Ein Gegenbeispiel liefert das Pseudo-Rhombenkuboktaeder.
Die Flächenfolge an einer Ecke charakterisiert jeden archimedischen (sowie auch platonischen) Körper eindeutig.
Die zu den archimedischen Körpern dualen Polyeder sind die catalanischen Körper. Die charakteristische Eigenschaft dieser Körper ist die Uniformität der Flächen, welche sich aus der Uniformität der Ecken der archimedischen Körper ergibt.
Jeder archimedische Körper kann durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden. Bei vielen archimedischen Körpern deutet auch der Name darauf hin. Mit Abstumpfen eines Körpers ist hier gemeint, dass dem Körper beliebige Stücke weggeschnitten werden, dabei aber die Flächen des Körpers – in aller Regel verkleinert – als Flächen des abgestumpften Körpers erhalten bleiben.
Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfen erzeugt werden.

Ableitungen aus den platonischen Körpern

Die meisten archimedischen Körper lassen sich auf anschauliche Weise aus den platonischen Körpern ableiten. Die einfachste Operation ist das Abstumpfen, die Rektifikation, das Doppelabstumpfen und die Doppelrektifikation. Dabei handelt es sich um verschieden starke Varianten des Abstumpfens. Die Abstumpfungsebenen (Schnittebenen) werden dabei konzentrisch so weit in Richtung Mittelpunkt des vorliegenden platonischen Körpers geschoben, bis sich Seitenflächen des platonischen Körpers oder diese Schnittebenen in einem Punkt treffen oder Schnittkanten dieser Seitenflächen oder Schnittebenen dieselbe Länge haben wie die verbleibenden Restkanten des ursprünglichen platonischen Körpers. Etwas anspruchsvoller sind die Kantellation, das Abschrägen und die Kantitrunkation. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die entstehenden Körper:

Symmetriegruppe	Tetraedergruppe	Oktaedergruppe		Ikosaedergruppe
Operation	Tetraeder	Hexaeder	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder
Abstumpfen	Tetraederstumpf	Hexaederstumpf	Oktaederstumpf	Dodekaederstumpf	Ikosaederstumpf
Rektifikation	Oktaeder	Kuboktaeder		Ikosidodekaeder
Doppelabstumpfen	Tetraederstumpf	Oktaederstumpf	Hexaederstumpf	Ikosaederstumpf	Dodekaederstumpf
Doppelrektifikation	Tetraeder	Oktaeder	Hexaeder	Ikosaeder	Dodekaeder
Kantellation	Kuboktaeder	Rhombenkuboktaeder		Rhombenikosidodekaeder
Abschrägen	Ikosaeder	Abgeschrägtes Hexaeder		Abgeschrägtes Dodekaeder
Kantitrunkation	Oktaederstumpf	Großes Rhombenkuboktaeder		Großes Rhombenikosidodekaeder

Im Fall des Tetraeders sind nicht alle entstehenden Polyeder archimedische Körper. Durch Doppelabstumpfen entsteht das Oktaeder und durch Abschrägen entsteht das Ikosaeder.

Die einzelnen archimedischen Körper

Name	Flächen		Kanten	Ecken	Flächenfolge an den Ecken	Symmetrie- gruppe	Dualer Körper
Tetraederstumpf	8	4 Dreiecke 4 Sechsecke	18	12	3, 6, 6	T_d	Triakistetraeder
Kuboktaeder	14	8 Dreiecke 6 Quadrate	24	12	3, 4, 3, 4	O_h	Rhombendodekaeder
Hexaederstumpf	14	8 Dreiecke 6 Achtecke	36	24	3, 8, 8	O_h	Triakisoktaeder
Oktaederstumpf	14	6 Quadrate 8 Sechsecke	36	24	4, 6, 6	O_h	Tetrakishexaeder
Rhombenkuboktaeder	26	8 Dreiecke 18 Quadrate	48	24	3, 4, 4, 4	O_h	Deltoidalikositetraeder
Großes Rhombenkuboktaeder oder Kuboktaederstumpf	26	12 Quadrate 8 Sechsecke 6 Achtecke	72	48	4, 6, 8	O_h	Hexakisoktaeder
Abgeschrägtes Hexaeder oder Cubus simus	38	32 Dreiecke 6 Quadrate	60	24	3, 3, 3, 3, 4	O	Pentagonikositetraeder
Ikosidodekaeder	32	20 Dreiecke 12 Fünfecke	60	30	3, 5, 3, 5	I_h	Rhombentriakontaeder
Dodekaederstumpf	32	20 Dreiecke 12 Zehnecke	90	60	3, 10, 10	I_h	Triakisikosaeder
Ikosaederstumpf oder Fußballkörper	32	12 Fünfecke 20 Sechsecke	90	60	5, 6, 6	I_h	Pentakisdodekaeder
Rhombenikosidodekaeder	62	20 Dreiecke 30 Quadrate 12 Fünfecke	120	60	3, 4, 5, 4	I_h	Deltoidalhexakontaeder
Großes Rhombenikosidodekaeder oder Ikosidodekaederstumpf	62	30 Quadrate 20 Sechsecke 12 Zehnecke	180	120	4, 6, 10	I_h	Hexakisikosaeder
Abgeschrägtes Dodekaeder oder Dodecaedron simum	92	80 Dreiecke 12 Fünfecke	150	60	3, 3, 3, 3, 5	I	Pentagonhexakontaeder

Raumfüllungen mit archimedischen Körpern

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten archimedischen Körper:

Raumfüllung, die nur aus Oktaederstümpfen besteht
Raumfüllung mit Tetraederstumpf und Tetraeder
Raumfüllung mit Kuboktaeder und Oktaeder
Raumfüllung mit Hexaederstumpf und Oktaeder
Raumfüllung mit Rhombenkuboktaeder, Würfel und Tetraeder
Raumfüllung mit Rhombenkuboktaeder, Kuboktaeder und Würfel
Raumfüllung mit Hexaederstumpf, Rhombenkuboktaeder, Achteckprisma und Würfel
Raumfüllung mit Oktaederstumpf, Tetraederstumpf und Kuboktaeder
Raumfüllung mit Großem Rhombenkuboktaeder und Achteckprisma
Raumfüllung mit Großem Rhombenkuboktaeder, Oktaederstumpf und Würfel
Raumfüllung mit Großem Rhombenkuboktaeder, Hexaederstumpf und Tetraederstumpf

Der dreidimensionale euklidische Raum kann mit Oktaederstümpfen lückenlos parkettiert werden kann. Das ist der einzige archimedischen Körper, mit dem das möglich ist.

Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder

Pseudo-Rhombenkuboktaeder

Lange Zeit benutzte man für die Definition der archimedischen Körper nicht die globale, sondern die anschaulichere lokale Uniformität der Ecken. Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass ein konvexes Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen existiert, welches die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht. Es wird als Pseudo-Rhombenkuboktaeder, als Miller’s solid oder als Johnson-Körper $J_{37}$ bezeichnet.

In jeder Ecke dieses Körpers stoßen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen, die lokale Uniformität der Ecken ist also gegeben. Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Körpern können trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden. Dazu ist es aber notwendig, nicht nur die direkten Nachbarflächen der Ecke zu betrachten, sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflächen der Ecke mit einzubeziehen.

Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo-Rhombenkuboktaeder als 14. archimedischen Körper. In der Regel herrscht aber die Meinung vor, dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Körper angesehen werden sollte. Die Forderung der starken Uniformität der Ecken sorgt dann dafür, dass das Pseudo-Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird.

Man kann spekulieren, dass möglicherweise bereits Kepler das Pseudo-Rhombenkuboktaeder kannte: denn einmal spricht er von vierzehn Archimedischen Körpern.

Siehe auch

Literatur

Paul Adam, Arnold Wyss: Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. Verlag Freies Geistesleben u.a., Stuttgart 1984, ISBN 3-7725-0965-7 (2. Auflage. Haupt u.a., Bern 1994).
Peter Cromwell: Polyhedra, Cambridge UP 1997
H. S. M. Coxeter: Regular Polytopes, London 1948, 2. Auflage 1963, 3. Auflage Dover 1983
László Fejes Tóth: Reguläre Figuren. Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften, Budapest 1965 (Englisch: Regular Figures, Springer 1964)

Basierend auf einem Artikel in:

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