Rhombendodekaeder

3D-Ansicht eines Rhombendodekaeders

Parkettierung des Raums mittels Rhombendodekaedern

Das Rhombendodekaeder ist ein Polyeder mit zwölf rhombenförmigen Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten. An sechs der Ecken grenzen vier Kanten und an die übrigen acht Ecken grenzen drei Kanten.

Es ist ein catalanischer Körper und dual zum Kuboktaeder. Das Rhombendodekaeder ist auch der Hüllkörper, der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines Hexaeders (Würfel) und eines Oktaeders beschrieben wird.

Wird ein Hexaeder „umgekrempelt“, entsteht ein Rhombendodekaeder. Jede Seite des Hexaeders beschreibt eine Pyramide mit dem Mittelpunkt des Hexaeders als Spitze. Diese Pyramiden werden, mit den Hexaederseiten nach innen, zusammengesetzt (also auf die Hexaederseiten aufgesetzt). Es entsteht ein Rhombendodekaeder mit dem einbeschriebenen Hexaeder als Hohlform. Daraus folgt, dass das Volumen eines Rhombendodekaeders doppelt so groß ist wie das eines Hexaeders mit der Kantenlänge der kleinen Diagonalen der Seitenflächen.

Das Rhombendodekaeder entsteht ebenfalls durch die Anwendung eines ähnlichen Vorgangs auf das Oktaeder.

Mehrere Rhombendodekaeder füllen den Raum lückenlos aus, wenn sie – wie in der nebenstehenden Grafik gezeigt – aneinandergefügt werden.

Formeln

Körpernetz eines Rhombendodekaeders

Für das Polyeder

Größen eines Rhombendodekaeders
Volumen	$V={\frac {16}{9}}\,a^{3}{\sqrt {3}}$
Oberflächeninhalt	$A_{O}\,=8\,a^{2}{\sqrt {2}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}$
Kantenkugelradius	$r={\frac {2}{3}}\,a\,{\sqrt {2}}$
Flächenwinkel = 120°	$\cos \,\alpha =-{\frac {1}{2}}$
Flächen-Kanten-Winkel ≈ 125° 15′ 52″	$\cos \,\beta =-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
1. Eckenraumwinkel = π (3 Flächen)	$\cos \,\Omega _{1}=-1$
2. Eckenraumwinkel = 2/3 π (4 Flächen)	$\cos \,\Omega _{2}=-{\frac {1}{2}}$
Sphärizität ≈ 0,9047	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{18\,\pi }}{3{\sqrt {2}}}}$

Für die Rhomben

Größen der Rhomben
Flächeninhalt	$A={\frac {2}{3}}a^{2}{\sqrt {2}}$
Inkreisradius	$r={\frac {a}{3}}{\sqrt {2}}$
Lange Diagonale	$e={\frac {2}{3}}a{\sqrt {6}}=f{\sqrt {2}}$
Kurze Diagonale	$f={\frac {2}{3}}a{\sqrt {3}}$
Spitze Winkel (2) ≈ 70° 31′ 44″	$\cos \, \alpha = \frac{1}{3}$
Stumpfe Winkel (2) ≈ 109° 28′ 16″	$\cos \,\beta =-{\frac {1}{3}}$

Vorkommen

In der Natur kommt das Rhombendodekaeder als typische Kristallform bei Mineralen der Granatgruppe vor und wird daher auch Granatoeder genannt. Es kann als spezielle Form {110} in allen kubischen Kristallklassen auftreten.
Die erste Brillouin-Zone des kubisch innenzentrierten Gitters hat die Form eines Rhombendodekaeders.
Das Rhombendodekaeder ist eine dreidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Würfels (Tesserakt).

Andradit-Einkristall als Vertreter der Granatgruppe
Parallelprojektion eines Tesserakts

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de

Rhombendodekaeder

Verwandte Polyeder

Formeln

Für das Polyeder

Für die Rhomben

Vorkommen