Deltoidalikositetraeder

3D-Ansicht eines Deltoidalikositetraeders
Konstruktion des Deltoids am Rhombenkuboktaeder
Topologisch gleichwertig zum Deltoidalikositetraeder ist dieser dreifach geschnittene Würfel

Das Deltoidalikositetraeder (auch Deltoidikositetraeder genannt) ist ein konvexes Ikositetraeder, also ein Polyeder mit 24 Seitenflächen, bei dem diese Flächen zueinander kongruente Deltoide sind. Es zählt zu den Catalanischen Körpern. Es ist dual zum Rhombenkuboktaeder und hat 26 Ecken sowie 48 Kanten.

In der Kristallographie und Mineralogie wird das Deltoidalikositetraeder oft (verkürzt) nur als Ikositetraeder bezeichnet, daneben auch als Trapezoeder oder Leucitoeder (es ist die typische Kristallform des Leucits).

Entstehung

Sei d die Kantenlänge des Rhombenkuboktaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Deltoids gegeben durch
 a = d\,\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}
 b = \, \frac{2}{7}\,d\, \sqrt{10 - \sqrt{2}}
Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:[1]
 (4 + \sqrt{2})\,a = 7b
Dieses spezielle (reguläre) Deltoidalikositetraeder ist der umbeschriebene Körper dreier zueinander senkrecht stehenden regelmäßiger Achtecke (mit Kantenlänge a), die sich in ihren Ecken schneiden.

Verwandte Polyeder

Formeln für das reguläre Deltoidalikositetraeder

Für das Deltoid

Größen im Deltoid – Bemerkenswert bei diesem Drachenviereck, das auch ein Tangentenviereck darstellt, ist die Tatsache, dass 3 der insgesamt 4 Innenwinkel gleich groß sind.
Größen des Drachenvierecks
Seitenverhältnis {\displaystyle b={\frac {1}{7}}(4+{\sqrt {2}})\,a}
Flächeninhalt  A = \frac{a^2}{14} \sqrt{61 + 38\sqrt{2}}
Inkreisradius  r = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{7+4\sqrt{2}}{17}}
1. Diagonale  e = \frac{a}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}
2. Diagonale  f = \frac{a}{7} \sqrt{46 + 15\sqrt{2}}
Spitze Winkel (3)
≈ 81° 34′ 44″
 \cos \, \alpha = \frac{1}{4}\,(2-\sqrt{2})
Stumpfer Winkel (1)
≈ 115° 15′ 47″
 \cos \, \beta = -\frac{1}{8}\,(2+\sqrt{2})

Für das Polyeder

Netz des Deltoidalikositetraeders
Größen eines regelmäßigen Deltoidikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen
≈ 6,9a3 ≈ 14,91b3
V = \frac{2}{7}\, a^3 \sqrt{292 + 206\sqrt{2}} = b^3 \sqrt{122 + 71\sqrt{2}}
Oberflächeninhalt
≈ 18,36a2 ≈ 30,69b2
A_O = \frac{12}{7}\, a^2 \sqrt{61 + 38\sqrt{2}} = 6\,b^2 \sqrt{29 - 2\sqrt{2}}
Inkugelradius \rho = a\, \sqrt{\frac{22+15\sqrt{2}}{34}} = \frac{b}{2} \sqrt{\frac{78 + 47\sqrt{2}}{17}}
Kantenkugelradius {\displaystyle r={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)={\frac {b}{4}}\left(2+3{\sqrt {2}}\right)}
Flächenwinkel
≈ 138° 7′ 5″
 \cos \, \alpha= -\frac{1}{17}\,(7 + 4\sqrt{2})
3D-Kantenwinkel
= 135°
 \cos \, \gamma = -\frac{1}{2}\sqrt{2}
Sphärizität
≈ 0,95456
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \left(122+71{\sqrt {2}}\right)}}{6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}}}}

Vorkommen

In der Natur kristallisieren z.B. Leucit, Analcim und Spessartin bevorzugt in Form von Deltoidalikositetraedern. Auch bei anderen Mineralen der Granatgruppe oder beim Fluorit kommen Deltoidalikositetraeder als Kristallform vor. Das Deltoidalikositetraeder, das ist die Form {hll} (mit h > l), ist entweder eine spezielle Form der Kristallklasse m3m, eine Grenzform des Pentagonikositetraeders in der Kristallklasse 432 oder eine Grenzform des Disdodekaeders in der Kristallklasse m3.

Anmerkungen

  1. Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 13.02. 2022