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Parkettierung

In der Mathematik bezeichnet Parkettierung (auch Kachelung, Pflasterung oder Flächenschluss) die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der (euklidischen) Ebene durch gleichförmige Teilflächen. Das Konzept kann auch auf höhere Dimensionen erweitert werden.

Bei praktischen Anwendungen wird die Überdeckung mit Hilfe von Primitiven („primitiven“ Flächen-Formen, möglichst mit einem einfachen Polygon) bevorzugt, wofür der entsprechend einschränkende Begriff Tessellation (englisch für „Mosaik“) verwendet wird. Wenn in einer technischen Anwendung ein großes Blech in nicht-primitive Teilflächen (Werkstücke) aufzuteilen ist, wird versucht, diese so zu gestalten, dass eine Parkettierung durch ungleiche Teilflächen vorliegt und kein Abfall entsteht.

Die „zyklische Aufteilung von Flächen“ mit ungleichförmigen Teilflächen (keine Polygone) in der Kunst kommt sehr ausgeprägt bei M. C. Escher vor.

Analog zur Parkettierung beziehungsweise zur Tessellation der Ebene (2D) kann auch der drei- oder höherdimensionale Raum unterteilt werden, siehe Raumfüllung.

Definitionen

Eine Kachel (Parkettstein, Pflasterstein) ist eine abgeschlossene topologische Scheibe in der Ebene. (Dadurch werden u.a. Steine mit Löchern und nicht-zusammenhängenden Teilen ausgeschlossen. Gelegentlich werden aber auch solche und allgemeinere Steine zugelassen.)

Eine Parkettierung (Pflasterung, Kachelung, manchmal auch Mosaik) ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, welche sowohl eine Packung (d.h., „kein Punkt der Ebene liegt im Inneren von zwei oder mehr Kacheln“, oder, anders ausgedrückt, „verschiedene Kacheln haben höchstens Randpunkte gemeinsam“) als auch eine Überdeckung (d.h., „jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel“) ist.

Häufig schränkt man den Begriff noch weiter ein, indem man z.B. fordert, dass alle Kacheln homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind (damit insbesondere kompakt und einfach zusammenhängend), oder aber, dass jede Kachel kongruent zu einem Element einer endlichen Auswahl von Kacheln (den sogenannten „Proto-Kacheln“) ist, dass also nur endlich viele verschiedene Kacheln auftreten. Gibt es genau eine Protokachel, so heißt die Parkettierung monohedral. Dabei fordert man zwar, dass die Kacheln untereinander kongruent sind, zur Protokachel, die die Parkettierung charakterisiert, jedoch nur ähnlich. Gibt es zu einer Form (Protokachel) eine (monohedrale) Parkettierung der Ebene, sagt man auch kurz „die Protokachel parkettiert“.

Periodische Parkettierungen

Abb. 1: Bienenwaben bilden ein Sechseckgitter

Eine Kongruenzabbildung (euklidische Bewegung) der Ebene, welche jede Kachel einer Parkettierung wieder auf eine Kachel abbildet, heißt „Symmetrie“ der Parkettierung. Die Menge aller Symmetrien heißt Symmetriegruppe (der Parkettierung). Sie ist eine Untergruppe der Gruppe {\displaystyle {\rm {E(2)}}} der euklidischen Bewegungen der Ebene. Enthält die Symmetriegruppe einer Parkettierung zwei linear unabhängige Verschiebungen, so heißt die Parkettierung „periodisch“ und die entstehende Symmetriegruppe ebene kristallographische Gruppe von denen es genau 17, die sogenannten Tapetenmustergruppen, gibt.

Wenn man gewisse Anforderungen an die in einer Parkettierung verwendeten Grundformen und ihre Anordnung stellt, ergeben sich Spezialfälle, für die man dann alle möglichen Parkettierungen angeben kann.

Platonische Parkettierungen

Ist nur ein regelmäßiges Polygon als Kachel zugelassen und wird weiter eingeschränkt, dass die Kacheln Kante an Kante angeordnet werden müssen, ergeben sich genau drei mögliche Parkettierungen der Ebene, die platonischen oder regulären Parkettierungen:

Johannes Kepler war der erste, der diese Parkettierungen untersuchte und erkannte, dass sie ein Analogon zu den regulären Polyedern darstellen.

Archimedische Parkettierungen

Dürfen als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, so ergeben sich bei Beibehaltung der Kante-an-Kante-Regel und der Einschränkung, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Kombination von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) zusammenstoßen muss, genau acht weitere mögliche Parkettierungen – die archimedischen, semiregulären oder 1-uniformen Parkettierungen der Ebene:

Demireguläre Parkettierungen

Parkettierungen, für die zwar als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden und die die Kante-an-Kante-Regel einhalten, bei denen aber an den Punkten, an denen die Ecken zusammenstoßen, eine von zwei möglichen Kombinationen von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) auftritt, nennt man demireguläre oder 2-uniforme Parkettierungen, zum Beispiel:

Es gibt insgesamt 20 demireguläre Parkettierungen.

Parkettierungen mit unregelmäßigen Polygonen

Parkettierungen sind auch mit unregelmäßigen Polygonen möglich. Beispiele sind:

Der niederländische Künstler M. C. Escher ist bekannt für seine Parkettierungen mit exotischen Figuren.

Isohedrale Parkettierungen und anisohedrale Kacheln

Abb. 2: 1-isohedrale Parkettierung.

Eine monohedrale Parkettierung heißt isohedral, wenn es zu je zwei Kacheln der Parkettierung eine Kongruenzabbildung gibt, die die eine Kachel auf die andere abbildet. In der Abbildung 2 kann das grüne in das blaue Rechteck durch eine Punktspiegelung am Mittelpunkt der gemeinsamen Seite, das grüne in das gelbe Rechteck durch eine Drehung um den gemeinsamen Eckpunkt und das grüne in das rote Rechteck durch eine Kombination von beidem überführt werden. In die Nähe der bunten Rechtecke kommt man durch Parallelverschiebung, wie durch die grauen Pfeile angedeutet.

In diesem Fall, wenn also die Gruppe der Kongruenzabbildungen transitiv auf der Parkettierung operiert, besteht die Parkettierung auch aus einer einzigen Bahn. Ist k die Anzahl der Bahnen, dann wird die Parkettierung k-isohedral genannt.

Abb. 3: 2-isohedrale Parkettierung.
Abb. 4: Eine Parkettierung mit dem Pflasterstein von Heesch. Sie ist nicht isohedral, und es gibt mit ihm keine isohedrale.

In der Parkettierung der Abbildung 3 gibt es keine Kongruenzabbildung, die das dunkelgrüne Rechteck in das dunkelrote überführt. Die Parkettierung besteht aus zwei Bahnen, den grünlichen und den rötlichen Rechtecken, und ist damit 2-isohedral. Ist k>1, wird die Parkettierung gelegentlich auch anisohedral genannt. Bei einer Kachel sagt man, sie ist k-anisohedral, oder, sie hat die isohedrale Zahl k (engl. isohedral number), wenn sie parkettiert und k-isohedral ist, aber nicht m-isohedral für {\displaystyle m<k}. So gesehen hat das (3:1)-Rechteck der Abbildung 3 die isohedrale Zahl 1, da es mit ihm natürlich auch isohedrale Parkettierungen gibt.

Es gibt aber auch Kacheln, die zwar parkettieren, zu denen es aber überhaupt keine transitive Parkettierung geben kann. Ein Beispiel ist der Pflasterstein von Heinrich Heesch (siehe Abbildung 4), bei dem nach der Gegebenheit der grünen und blauen Kacheln die (gespiegelten) gelben und roten zwar für die Parkettierung erforderlich sind, es aber keine Kongruenzabbildung gibt, die grüne oder blaue Kacheln in gelbe bzw. rote überführen würde. Bspw. können durch eine Achsenspiegelung grüne oder blaue Kacheln in gelbe bzw. rote überführt werden, die Bilder der gelben und/oder roten erfahren dabei aber einen Versatz um 2 Raster, so dass sie nicht mit grünen oder blauen Kacheln zur Deckung zu bringen sind.

Aperiodische Parkettierungen

Sätze von Proto-Kacheln (s.o.), die ausschließlich nichtperiodische Überdeckungen der Ebene zulassen, heißen aperiodisch oder quasikristallin. Parkettierungen können quasiperiodisch sein, das heißt, dass sich beliebig große Ausschnitte wiederholen, ohne dass das Parkett insgesamt periodisch ist. Interessante und schöne Beispiele für quasiperiodische Parkettierungen sind die Penrose-Parkettierungen, benannt nach ihrem Entdecker Roger Penrose.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 17.06. 2021