Stirling-Zahl

Die Stirling-Zahlen erster und zweiter Art, benannt nach James Stirling, werden in der Kombinatorik und der theoretischen Informatik verwendet.

Bezeichnung und Notation

Mit Hinweis auf eine bereits 1730 veröffentlichte Arbeit Stirlings, in der diese Zahlen untersucht werden, führte Niels Nielsen 1906 im Handbuch der Theorie der Gammafunktion die Bezeichnung „Stirlingsche Zahlen erster und zweiter Art“ ein („nombres de Stirling“ bereits in einem 1904 veröffentlichten Artikel).

Weder die Bezeichnung als Stirlingzahlen noch einheitliche Notationen haben sich durchgesetzt. In diesem Artikel werden Stirlingzahlen der ersten Art mit kleinem s bezeichnet oder übereinander in eckigen Klammern geschrieben, Stirlingzahlen der zweiten Art mit großem S bezeichnet oder übereinander in geschweiften Klammern geschrieben:

{\displaystyle s_{n,k}=\left[{n \atop k}\right],\qquad S_{n,k}=\left\{{n \atop k}\right\}}.

Die Klammernotation, auch Karamata-Notation genannt, wurde 1935 von Jovan Karamata in Analogie zu den Binomialkoeffizienten {\tbinom {n}{k}} eingeführt, 1992 setzte sich Donald Knuth mit einem ausführlichen Exkurs über die Stirling-Zahlen für diese Schreibweise ein.

Stirling-Zahlen erster Art

Die Stirling-Zahl erster Art s_{n,k} ist die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge, die genau k Zykel haben. Nach einer häufig verwendeten anderen Definition wird stattdessen (-1)^{n-k} s_{n,k} als Stirling-Zahl erster Art bezeichnet.

Beispiel

Die Menge \{a,b,c,d\} mit n=4 Elementen kann auf folgende Weisen auf k=2 Zykel aufgeteilt werden:

(a b c)(d),\text{ }(a c b)(d),\text{ }(a b d)(c),\text{ }(a d b)(c),\text{ }(a c d)(b),\text{ }(a d c)(b),\text{ }(b c d)(a),\text{ }(b d c)(a),\text{ }(a b)(c d),\text{ }(a c)(b d),\text{ }(a d)(b c)

Also ist s_{4,2} = 11. Für weitere Beispiele siehe Zykeltyp.

Eigenschaften

Es gelten die expliziten Formeln

s_{n,k} = \!\!\! \sum_{0 < i_1 < i_2 < \ldots < i_{n-k} < n} \!\!\! i_1 i_2 \cdots i_{n-k} = (n-1)! \!\!\! \sum_{0 < j_1 < j_2 < \ldots < j_{k-1} < n} \!\!\! (j_1 j_2 \cdots j_{k-1})^{-1}

und die rekursive Formel

s_{n+1,k} = s_{n,k-1} + n\,s_{n,k}

mit den Anfangsbedingungen

s_{n,n} = 1     und
s_{n,k} = 0     für   k = 0 < n   oder   n < k.

Weitere spezielle Werte sind

für alle n > 0, wobei H_{n-1} = 1^{-1} + 2^{-1} + ... + (n-1)^{-1} die (n-1)-te harmonische Zahl und H_{n-1,2} = 1^{-2} + 2^{-2} + ... + (n-1)^{-2} eine verallgemeinerte harmonische Zahl ist.

Allgemein kann s_{n,n-k} als Polynom in n vom Grad 2 k aufgefasst werden. Es hat den Leitkoeffizienten 1/(2^k k!) und enthält für alle k>0 die Faktoren n, n−1, …, nk und für ungerade k>1 die Faktoren n2 und (n−1)2. Das Polynom

\psi_k(n) = s_{n+1,n-k} / \bigl((n+1)\,n \cdots (n-k)\bigr)

in n vom Grad k wird auch als Stirling-Polynom bezeichnet, siehe auch Abschnitt Stirling-Polynome.

Erzeugende Funktionen sind

\sum_{n=0}^\infty s_{n,k}\,\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{k!} \bigl(\!-\log(1-t)\bigr)^k     und     \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty s_{n,k}\,\frac{t^n}{n!}\,u^k = (1-t)^{-u}     und
\sum_{k=0}^n s_{n,k}\,x^k = (x)^n

mit der steigenden Faktoriellen (x)^n = x\,(x+1)\,\cdots\,(x+n-1).

Ist p eine Primzahl, dann ist s_{p,k} für 1 < k < p durch p teilbar und für gerade k < p-1 durch p^{2} teilbar (Nielsen 1893). Der Satz von Wolstenholme ist der Spezialfall k=2.

Da n! die Anzahl aller Permutationen einer n-elementigen Menge ist, folgt

\sum_{k=0}^n s_{n,k} = n!

und insbesondere s_{n,k} \leq n! direkt aus der Definition von s_{n,k}.

Für jedes n>2 existiert ein m_n, so dass

s_{n,0} < s_{n,1} < \ldots < s_{n,m_n-1} < s_{n,m_n} > s_{n,m_n+1} > \ldots > s_{n,n}

und m_{n+1} = m_n oder m_{n+1} = m_n + 1 (Erdős 1953).

Für jedes n ist die Folge s_{n,0}, s_{n,1}, ..., s_{n,n} streng logarithmisch konkav, das heißt, s_{n,k}^2 > s_{n,k-1} s_{n,k+1} für 0 < k < n.

Das asymptotische Verhalten von s_{n,k} unter der Annahme k = o(\log n) ist

s_{n,k} \sim \frac{(n-1)!}{(k-1)!} \, (\gamma + \log n)^{k-1}

mit der Euler-Mascheroni-Konstante \gamma .

Stirling-Zahlen zweiter Art

Die Stirling-Zahl zweiter Art S_{n,k} ist die Anzahl der k-elementigen Partitionen einer n-elementigen Menge, also die Anzahl der Möglichkeiten, eine n-elementige Menge in k nichtleere disjunkte Teilmengen aufzuteilen.

S_{n,k} ist auch die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Bälle auf k nicht unterscheidbare Fächer aufzuteilen, so dass mindestens ein Ball in jedem Fach liegt. Sind die Fächer unterscheidbar, so erhält man k! S_{n,k} Möglichkeiten, dies ist auch die Anzahl surjektiver Abbildungen einer n-elementigen Menge auf eine k-elementige Menge.

Beispiel

Die Menge \{a,b,c,d\} mit n=4 Elementen kann auf folgende Weisen in k=2 nichtleere disjunkte Teilmengen zerlegt werden:

 \{\{a,b\},\{c,d\}\},\ \{\{a,c\},\{b,d\}\},\ \{\{a,d\},\{b,c\}\},
 \{\{a,b,c\},\{d\}\},\ \{\{a,b,d\},\{c\}\},\ \{\{a,c,d\},\{b\}\},\ \{\{b,c,d\},\{a\}\}.

Also ist S_{4,2} = 7.

Eigenschaften

Es gelten die expliziten Formeln

{\displaystyle S_{n,k}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}j^{\,n}}     und
S_{n,k} = \!\!\! \sum_{1 \leq i_1 \leq i_2 \leq ... \leq i_{n-k} \leq k} \!\!\! i_1 i_2 \cdots i_{n-k} = \!\!\! \sum_{c_1+c_2+\cdots+c_k=n-k} \!\!\! 1^{c_1} 2^{c_2} \cdots k^{c_k}

mit ganzzahligen nichtnegativen c_1, c_2, ..., c_k und die rekursive Formel

S_{n+1,k} = S_{n,k-1} + k\,S_{n,k}

mit den Anfangsbedingungen

S_{n,n} = 1     und
S_{n,k} = 0     für   k = 0 < n   oder   n < k.

Weitere spezielle Werte sind

für alle n > 0.

Auch S_{n,n-k} kann als Polynom in n vom Grad 2 k aufgefasst werden. Es hat den Leitkoeffizienten 1/(2^k k!) und enthält für alle k>0 die Faktoren n, n−1, …, nk und für ungerade k>1 die Faktoren (nk)2 und (nk+1)2. Man erhält dasselbe Stirling-Polynom k-ten Grades wie bei den Stirling-Zahlen erster Art mittels

(-1)^k \psi_k(-n) = S_{n+k,n-1} / \bigl((n+k)\,(n+k-1) \cdots (n-1)\bigr).

Erzeugende Funktionen sind

\sum_{n=0}^\infty S_{n,k}\,\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{k!} (e^t-1)^k     und     \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty S_{n,k}\,\frac{t^n}{n!}\,u^k = e^{(e^t-1) u}     und
\sum_{n=0}^\infty S_{n,k}\,u^n = \frac{u^k}{(1-u)(1-2u)\cdots(1-ku)}     und
\sum_{k=0}^n S_{n,k}\,(x)_k = x^n

mit der fallenden Faktoriellen (x)_n = x\,(x-1)\,\cdots\,(x-n+1).

Ist p eine Primzahl, dann ist S_{p,k} für 1 < k < p durch p teilbar.

Da die Bellsche Zahl B_{n} die Anzahl aller Partitionen einer n-elementigen Menge ist, gilt

\sum_{k=0}^n S_{n,k} = B_n.

Die Bernoulli-Zahl βn erhält man als die alternierende Summe

\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{k!}{k+1} S_{n,k} = \beta_n.

Mit Hilfe der Rekursionsformel kann man zeigen, dass für jedes n>2 ein m_n existiert, so dass

S_{n,0} < S_{n,1} < \ldots < S_{n,m_n-1} \leq S_{n,m_n} > S_{n,m_n+1} > \ldots > S_{n,n}

und m_{n+1} = m_n oder m_{n+1} = m_n + 1 gilt. Es ist eine offene Frage, ob ein n>2 existiert, für das der Fall S_{n,m_n-1} = S_{n,m_n} eintritt.

Für jedes n ist die Folge S_{n,0}, S_{n,1}, ..., S_{n,n} streng logarithmisch konkav, das heißt, S_{n,k}^2 > S_{n,k-1} S_{n,k+1} für 0 < k < n.

Beziehung zwischen den Stirling-Zahlen erster und zweiter Art

Aus den Beziehungen

x^n = \sum_{k=0}^{n} S_{n,k}\,(x)_k     und     (x)_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} s_{n,k}\,x^k,

die auch häufig zur Definition der Stirling-Zahlen zweiter und erster Art verwendet werden, folgt, dass diese die Koeffizienten von zueinander inversen linearen Transformationen sind, der Stirling-Transformation und der inversen Stirling-Transformation. Das heißt, dass die unteren Dreiecksmatrizen \bigl(S_{n,k}\bigr)_{n,k} und \bigl((-1)^{n-k} s_{n,k}\bigr)_{n,k} zueinander inverse Matrizen sind:

\sum_{i=0}^\infty S_{n,i}\,(-1)^{i-k} s_{i,k} = \delta_{n,k} = \sum_{i=0}^\infty (-1)^{n-i} s_{n,i}\,S_{i,k}

mit dem Kronecker-Delta \delta_{n,k} = 1 für n=k und \delta_{n,k} = 0 für n \neq k.

Die Stirlingzahlen erster und zweiter Art lassen sich jeweils durch die anderen darstellen (Schlömilch 1852):

(-1)^{{n-k}}s_{{n,k}}=\sum _{{j=0}}^{{n-k}}(-1)^{j}{\binom  {n+j-1}{k-1}}{\binom  {2n-k}{n-k-j}}S_{{n-k+j,j}}     und
S_{n,k} = \sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j \binom{n+j-1}{k-1} \binom{2n-k}{n-k-j} (-1)^{n-k} s_{n-k+j,j}.

Die Stirlingzahlen können eindeutig so auf negative ganze Indizes n und k fortgesetzt werden, dass die Rekursionsformeln

s_{n+1,k} = s_{n,k-1} + n\,s_{n,k}     und     S_{n+1,k} = S_{n,k-1} + k\,S_{n,k}

allgemein gelten und S_{n,k} = 0 = s_{n,k} für n < k = 0. Man erhält die für alle ganzen Zahlen n und k gültige Dualität

S_{-n,-k} = s_{k,n}\,,

die auch die beiden Rekursionsformeln ineinander überführt, außerdem S_{n,k} = 0 = s_{n,k} für n\text{ }k < 0. Setzt man in die als Polynome in n aufgefassten S_{n,n-k} und s_{n,n-k} für n negative ganze Zahlen ein, so erhält man dieselbe Fortsetzung auf negative ganze Indizes und für die Polynome die Dualität

S_{n,n-k} = s_{(k-n),(k-n)-k}\,.

Analogie zu den Binomialkoeffizienten

Für die Binomialkoeffizienten gilt

{\displaystyle {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}.}

Die Karamata-Notation betont die Analogie:

{\displaystyle {\Bigl [}{n+1 \atop k}{\Bigr ]}={\Bigl [}{n \atop k-1}{\Bigr ]}+n\,{\Bigl [}{n \atop k}{\Bigr ]}}
{\displaystyle {\Bigl \{}{n+1 \atop k}{\Bigr \}}={\Bigl \{}{n \atop k-1}{\Bigr \}}+k\,{\Bigl \{}{n \atop k}{\Bigr \}}}

Entsprechend lassen sich die Stirling-Zahlen in einem Dreiecksschema ähnlich dem Pascalschen Dreieck anordnen und zeilenweise berechnen.

Dreieck für Stirling-Zahlen erster Art (erste Zeile n=1, erste Spalte k=1; Folge A130534 in OEIS):

                             1
                          1     1
                       2     3     1
                    6    11     6     1
                24    50    35    10     1
             120   274   225   85    15     1
          720  1764  1624   735   175   21     1
      5040  13068 13132 6769  1960   322   28     1
  40320 109584 118124 67284 22449 4536  546   36     1
...   ...    ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...    1

Dreieck für Stirling-Zahlen zweiter Art (erste Zeile n=1, erste Spalte k=1; Folge A008277 in OEIS):

                             1
                          1     1
                       1     3     1
                    1     7     6     1
                 1    15    25    10     1
              1    31    90    65    15     1
           1    63    301   350   140   21     1
        1    127   966  1701  1050   266   28     1
     1    255  3025  7770  6951  2646  462    36     1
  1    ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...    1

Als eine weitere Analogie gibt es k! \tbinom{n}{k} injektive und \textstyle n!\bigl\{\!{k \atop n}\!\bigr\} surjektive Funktionen mit k-elementiger Definitions- und n-elementiger Zielmenge.

Stirling-Polynome

Die im Abschnitt Stirling-Zahlen erster Art eingeführten Stirling-Polynome werden auch durch die erzeugenden Funktionen

\Bigl(\frac{t}{1-e^{-t}}\Bigr)^{x+1} = 1 + (x+1) \sum_{k=0}^\infty \psi_k(x)\,t^{k+1}     und
\Bigl(\frac{-\log(1-t)}{t}\Bigr)^x = 1 + x \sum_{k=0}^\infty \psi_k(x+k)\,t^{k+1}

beschrieben, die man durch Verallgemeinerung erzeugender Funktionen von S_{n,k} und s_{n,k} erhält. Nach einer anderen Definition werden die Polynome S_0(x) = 1 und S_k(x) = k! (x+1) \psi_{k-1}(x) als Stirling-Polynome bezeichnet. Die Polynome ψ0(x), ψ1(x), …, ψ6(x) sind

\tfrac{1}{2},     \tfrac{1}{24} (3 x + 2),     \tfrac{1}{48} (x + 1)\,x,     \tfrac{1}{5760} (15 x^3 + 15 x^2 - 10 x - 8),     \tfrac{1}{11520} (x + 1)\,x\,(3 x^2 - x - 6),
\tfrac{1}{2903040} (63 x^5 - 315 x^3 - 224 x^2 + 140 x + 96),     \tfrac{1}{5806080} (x+1)\,x\,(9 x^4 - 18 x^3 - 57 x^2 + 34 x + 80),

und spezielle Werte für k>0 sind

\psi_k(-1) = -\beta_{k+1} / ((k+1)! (k+1))     und     \psi_k(0) = \beta_{k+1} / (k+1)!

mit der Bernoulli-Zahl βk+1. Berechnet werden können die Polynome mit den Formeln

\psi_k(x) = \sum_{j=0}^k \frac{C_{k+1,j}}{(2k+2-j)!} (x-k-1)_{k-j}     und
(-1)^k \psi_k(-x) = \sum_{j=0}^k \frac{\overline{C}_{k+1,j}}{(2k+2-j)!} (x-2)_{k-j}

mit den durch C_{1,0} = 1, C_{k,j} = 0 für j ∉ {0, 1, …, k−1} und

C_{k+1,j} = (2k+1-j)\,(C_{k,j-1} + C_{k,j}), siehe Folge A111999 in OEIS,

und den durch 1,0 = 1, k,j = 0 für j ∉ {0, 1, …, k−1} und

\overline{C}_{k+1,j} = (k+1-j)\,\overline{C}_{k,j-1} + (2k+1-j)\,\overline{C}_{k,j}

rekursiv definierten ganzzahligen Koeffizienten. Für k>0 erhält man

s_{n,n-k} = \sum_{j=0}^{k-1} C_{k,j} \binom{n}{2k-j}     und     S_{n,n-k} = \sum_{j=0}^{k-1} \overline{C}_{k,j} \binom{n}{2k-j}.

Diese Berechnung von s_{n,n-k} und S_{n,n-k} ist besonders für große n und kleine k effizient.

Programmierbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Stirling-Zahlen lassen sich sehr einfach in einer rekursiven Methode in beispielsweise Java implementieren.

Verlauf des Programmes:

static int stirling(int n, int k) {
	if (n == 0 && k == 0) {
		return 1;
	} else if ((n == 0 && k > 0) || (n > 0 && k == 0)) {
		return 0;
	} else if (n > 0 && k > 0){
		return stirling(n - 1, k - 1) + k * stirling(n - 1, k);
	}
	throw new IllegalArgumentException("Sowohl n als auch k müssen positiv sein.");
}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.11. 2021