Fallende und steigende Faktorielle
Die fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d.h., um Eins reduziert bzw. erhöht werden.
Definition
Für natürliche Zahlen und mit wird die -te fallende bzw. steigende Faktorielle als bzw. (in manchen älteren Lehrbüchern auch bzw. ) notiert und ist wie folgt definiert:
Kombinatorische Interpretation
Im Urnenmodell lässt sich die fallende Faktorielle als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einer Urne mit verschiedenen Kugeln Kugeln zu entnehmen, ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge. Für die erste Kugel gibt es Kandidaten, für die zweite … und schließlich für die letzte Kugel noch . Für die Gesamtauswahl gibt es daher Möglichkeiten.
Allgemein ist die Anzahl der -Permutationen einer -Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer -Menge in eine -Menge.
Verallgemeinerung
Die Definition erfolgt analog für eine komplexe Zahl und eine natürliche Zahl :
Man kann und dann als komplexe Polynome in auffassen.
Für stimmt die steigende Faktorielle mit dem Pochhammer-Symbol überein.
Eigenschaften
Rechenregeln
Es gelten folgende Rechenregeln:
- für
Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen
Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren:
Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei und die (vorzeichenlosen) Stirling-Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen:
Vorkommen in der Analysis
Literatur
- Martin Aigner: Diskrete Mathematik. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0084-8.
- Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger: Elemente der diskreten Mathematik. Zahlen und Zählen, Graphen und Verbände. De Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-027767-8.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.11. 2021