Pochhammer-Symbol

Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.[1]

Definition

Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:

(x,n) \equiv \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}

Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann

{\displaystyle (x,n)\equiv x(x+1)\dotsm (x+n-1)}.

Man hat also eine Identität

{\displaystyle (x,n)=x^{\overline {n}}}

mit der steigenden Faktoriellen.

Eigenschaften

Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-Symbole
(x,-n) = (-1)^n \frac{1}{(1-x,n)}

q-Pochhammer-Symbol

Das q-Pochhammer-Symbol ist das q-Analog des Pochhammer-Symbols und spielt eine Rolle in der Kombinatorik bei q-Analoga klassischer Formeln, wobei, angeregt durch den Grenzübergang

{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n},

das q-Analogon natürlicher Zahlen über

{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n-1}}

definiert wird.

Das q-Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen q definiert:

{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dotsm (1-aq^{n-1})}

mit

{\displaystyle (a;q)_{0}=1}.

Sie werden auch q-Reihen genannt und {\displaystyle (a;q)_{n}} als {\displaystyle (a)_{n}} abgekürzt, z.B. {\displaystyle (q;q)_{n}=(q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\dotsm (1-q^{n})}.

Es lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

{\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})}

Der Spezialfall

{\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}

ist das Eulersche Produkt, das eine Rolle in der Theorie der Partitionsfunktion spielt.

Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen als Koeffizienten:

{\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}}

Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.

Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:

{\displaystyle (x;x)_{\infty }=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}{\bigr ]}}

Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:

{\displaystyle F(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)}
{\displaystyle K(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n+1)}

Diese Tatsache basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.

Das Eulersche Produkt kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion ausgedrückt werden:

{\displaystyle (x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2x^{-1/24}\vartheta _{10}(x^{1/6})\vartheta _{01}(x^{1/6})\vartheta _{00}(x^{1/6})^{2/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})[9\vartheta _{00}(x^{1/2})^{4}-\vartheta _{00}(x^{1/6})^{4}]^{-2/3}}

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung zu den Thetafunktionen:

{\displaystyle (x;x^{2})_{\infty }=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{01}(x)^{1/3}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}}

Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π.

Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:

{\displaystyle R(x)=x^{1/5}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}^{-1}=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=}
{\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}
{\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}=}
{\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}

In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.

Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen

{\displaystyle \bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}
{\displaystyle \Box \,(n)=n^{2}}

verwendet und die Thetafunktionen:

{\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}
{\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}
{\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}

Anmerkung

  1. L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung (x)_n für den Binomialkoeffizienten, [x]_n für die fallende Faktorielle und [x]_n^+ für die steigende Faktorielle.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.01. 2022