Pentagonalzahlensatz

Der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebieten der Funktionentheorie und Zahlentheorie bzw. Kombinatorik.

Der Satz lautet: Als formale Potenzreihe in gilt

$\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})\;=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left(q^{n(3n+1)/2}+q^{n(3n-1)/2}\right)$

Damit gilt die Gleichung insbesondere für komplexe Zahlen im Falle der absoluten Konvergenz, also |q|<1 . Die Exponenten $\tfrac{n(3n-1)}2$ sind für $n\geq1$ gerade die Pentagonalzahlen. Explizit lautet die Formel

$(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})\cdots \,=1-q-q^{2}+q^{5}+q^{7}-q^{12}-\ldots$

Insbesondere tauchen auf der rechten Seite ausschließlich die Koeffizienten , und $0$ auf (Folge A010815 in OEIS).

Die Bedeutung des Pentagonalzahlensatzes für die Funktionentheorie liegt darin, dass die linke Seite bis auf den Faktor $q^{1/24}$ die -Entwicklung der Dedekind'schen η-Funktion ist.

Die Aussage des Pentagonalzahlensatzes erlaubt auch eine kombinatorische Interpretation: Es bezeichne $A_{n}$ die Anzahl der Zahlpartitionen von in eine gerade Anzahl von verschiedenen Summanden und $B_{n}$ die Anzahl der Zahlpartitionen in eine ungerade Anzahl von verschiedenen Summanden. Dann ist A_n-B_n der -te Koeffizient der obigen Reihe.

Die Identität des Pentagonalzahlensatzes ist ein Spezialfall des Jacobi-Tripelprodukts.

Beweise gaben neben Euler unter anderem Carl Gustav Jacobi und einen kombinatorischen Beweis gab 1881 F. Franklin (dargestellt im Zahlentheorie-Lehrbuch von Godfrey Harold Hardy und E. M. Wright).

Rekursionsrelationen für die Partitionsfunktion

Nach Euler ist die erzeugende Funktion der Partitionen $p(n)$ :

$\sum \limits _{n\geq 0}p(n)x^{n}=\prod \limits _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}$

oder

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1$

Entwicklung des unendlichen Produkts als Potenzreihe gemäß dem Pentagonalzahlensatz ergibt:

$\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ,

wobei die Koeffizienten $a_{i}$ aus dem Pentagonalzahlensatz folgen (sie haben die Werte $0,1,-1$ ):

$a_{i}:={\begin{cases}1&{\mbox{ wenn }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ und }}k{\mbox{ gerade}}\\-1&{\mbox{ wenn }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ und }}k{\mbox{ ungerade}}\\0&{\mbox{ sonst }}\end{cases}}$

Eingesetzt ergibt dies

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1$ .

Dass lässt sich auch so ausdrücken, dass die diskrete Faltung der Koeffizienten mit der Folge der Partitionszahlen Eins ergibt.

Mit $a_{0}\,p(0)=1$ ergibt sich durch Vergleich der Koeffizienten der einzelnen Potenzen

$\sum _{i=0}^{n}p(n{-}i)a_{i}=0$

für alle $n\geq 1$ . Daraus lassen sich die $p(i)$ aus den $a_{j}$ rekursiv bestimmen. Es folgt wenn der Term $p(n)$ aus der Summe herausgezogen wird und die $a_{i}$ eingesetzt werden:

$p(n)=\sum _{k\neq 0,g_{k}<n}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})$

mit der -ten Pentagonalzahl $g_{k}={\frac {1}{2}}(3k^{2}-k)$ ( kann auch negativ sein). Explizit lauten die ersten Terme:

$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots$

Diese Formeln dienten Percy Alexander MacMahon dazu, Werte der Partitionsfunktion bis $n=200$ zu berechnen.

Literatur

Hardy, Wright, An introduction to the theory of numbers, Clarendon Press 1975 (Kapitel 19: Partitions)

Basierend auf einem Artikel in:

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