F-Verteilung

Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung, auch Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher und George W. Snedecor), ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine F-verteilte Zufallsvariable ergibt sich als Quotient zweier jeweils durch die zugehörige Anzahl der Freiheitsgrade geteilter Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Die F-Verteilung besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so eine Zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Die F-Verteilung wird häufig in einem Test verwendet (F-Test), um festzustellen, ob der Unterschied zweier Stichprobenvarianzen auf statistischer Schwankung beruht oder ob er auf unterschiedliche Grundgesamtheiten hinweist. Auch im Rahmen der Varianzanalyse wird mit einer F-Statistik auf signifikante Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten (Gruppen) getestet.

Definition

Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n
Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung F(m,n), mit m Freiheitsgraden im Zähler und n Freiheitsgraden im Nenner, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

{\displaystyle f(x\mid m,n)=m^{\frac {m}{2}}n^{\frac {n}{2}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\cdot {\frac {x^{{\frac {m}{2}}-1}}{(mx+n)^{\frac {m+n}{2}}}},\quad x>0}

besitzt. Dabei ist mit \Gamma (x) die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet.

Historisch bildet die nachfolgende Definition den Ursprung der F-Verteilung als die Verteilung der Größe

F_{{m,n}}={\frac  {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}},

wobei \chi _{m}^{2} und \chi_n^2 unabhängige, Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen mit m bzw. n Freiheitsgraden sind.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert existiert nur für n>2 und hat dann den Wert

\operatorname {E}(F_{{m,n}})={\frac  {n}{n-2}}.

Varianz

Die Varianz ist nur für n>4 definiert und lautet dann

\operatorname {Var}(F_{{m,n}})={\frac  {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}.

Verteilungsfunktion

Die Werte der Verteilung P(X\leq x)=F(x|m;n) werden meist numerisch ermittelt und in einer Tabelle angegeben. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.A. nicht notwendig, sodass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

{\displaystyle F^{-1}(p;m;n)={\frac {1}{F^{-1}(1-p;n;m)}},}

wobei F^{{-1}}(p;m;n) das p-Quantil der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als

F(x|m;n)=I\left({\frac  {m\cdot x}{m\cdot x+n}},{\frac  {m}{2}},{\frac  {n}{2}}\right),

wobei {\displaystyle I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\cdot \int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t} die regularisierte unvollständige Betafunktion darstellt.

Maximum

Für m>2 nimmt f an der Stelle

x_{{{\mathrm  {max}}}}={\frac  {n(m-2)}{m(n+2)}}

das Maximum an.

Entropie

Die Entropie der F-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

{\displaystyle H(X)=\ln \left({\frac {n}{m}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)}}\right)+\left(1-{\frac {m}{2}}\right)\psi \left({\frac {m}{2}}\right)-\left(1+{\frac {n}{2}}\right)\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {m+n}{2}}\psi \left({\frac {m+n}{2}}\right),}

wobei \psi die Digamma-Funktion bezeichnet.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Das Zeichen \sim bedeutet im Folgenden „ist verteilt wie“.

Beziehung zur Beta-Verteilung

Die Zufallsvariable

{\displaystyle Y={\frac {{\frac {m}{n}}F_{m,n}}{1+{\frac {m}{n}}F_{m,n}}}}

ist betaverteilt mit Parametern m/2 und n/2 \left(Y\sim \operatorname {Beta}(m/2,n/2)\right). Es gilt:

Y\sim {\frac  {\chi _{m}^{2}}{\chi _{m}^{2}+\chi _{n}^{2}}}

wobei \chi _{m}^{2} und \chi_n^2 unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsgrößen sind mit m bzw. n Freiheitsgraden.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Aus den unabhängigen \chi _{m}^{2} und \chi_n^2 Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit m bzw. n Freiheitsgraden lässt sich

F_{{m,n}}={\frac  {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}

konstruieren. Diese Zufallsvariable ist F(m,n)-verteilt.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen X\sim \chi ^{2}(\delta ,m) und Y\sim \chi ^{2}(n) ist

Z={\frac  {X/m}{Y/n}}

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung Z\sim F(\delta ,m,n) mit Nichtzentralitäts-Parameter \delta . Dabei ist \chi ^{2}(\delta ,\,m) eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitäts-Parameter \delta und m Freiheitsgraden. Für \delta =0 ergibt sich die zentrale F-Verteilung F(m,\,n).

Dichte der nichtzentralen F-Verteilung

g(z|m,n,\delta )=f(z|m,n)\cdot e^{{-\delta /2}}{}_{1}{\mathcal  F}_{1}\left({\frac  {m+n}{2}},{\frac  m2},{\frac  {m\cdot z\cdot \delta }{2(m\cdot z+n)}}\right).

Die Funktion {}_{1}{\mathcal  F}_{1}(a,b,x) ist eine spezielle hypergeometrische Funktion, auch Kummersche Funktion genannt und f(x|m,n) repräsentiert die oben angegebene Dichte der zentralen F-Verteilung.

Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen F-Verteilung sind gegeben durch

{\displaystyle {\frac {n(1+\delta /m)}{n-2}}} mit n>2

und

{\displaystyle {\frac {2n^{2}(m(1+\delta /m)^{2}+(n-2)(1+2\delta /m))}{m(n-2)^{2}(n-4)}}} mit {\displaystyle n>4.}

Beide ergeben bei \delta \to 0 die Formeln der zentralen F-Verteilung.

Beziehung zur Normalverteilung

Wenn die unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{m},Y_{1},Y_{2},\dotsc ,Y_{n} die Parameter

{\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=\mu ,\quad \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}
{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{j})=\nu ,\quad \operatorname {Var} (Y_{j})=\tau ^{2}}

besitzen, sind die jeweiligen Stichprobenvarianzen S_{X}^{2} und S_{Y}^{2} unabhängig, und es gilt:

{\frac  {S_{X}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{{m-1}}^{2}/(m-1)
{\frac  {S_{Y}^{2}}{\tau ^{2}}}\sim \chi _{{n-1}}^{2}/(n-1)

Deshalb unterliegt die Zufallsvariable

F={\frac  {S_{X}^{2}/\sigma ^{2}}{S_{Y}^{2}/\tau ^{2}}}

einer F-Verteilung mit m-1 Freiheitsgraden im Zähler und n-1 Freiheitsgraden im Nenner.

Beziehung zur Studentschen t-Verteilung

Wenn X\sim t_{n} (Studentsche t-Verteilung), dann ist X^{2}\sim F(1,n).

Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden folgt einer F-Verteilung mit m=1 und n Freiheitsgraden.

Herleitung der Dichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der F-Verteilung lässt sich herleiten (vgl. Herleitung der Dichte der Studentschen t-Verteilung) aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen \chi _{m}^{2} und \chi^2_n, die beide Chi-Quadrat-verteilt sind.

{\displaystyle g_{\chi _{m}^{2},\chi _{n}^{2}}(x,y)=\left({\frac {1}{2^{\frac {m}{2}}\Gamma ({\tfrac {m}{2}})}}x^{{\frac {m}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {x}{2}}\right\}\right)\cdot \left({\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}y^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {y}{2}}\right\}\right)}.

Mit der Transformation

{\displaystyle f={\frac {x/m}{y/n}},v=y}

bekommt man die gemeinsame Dichte von F={\frac  {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}} und \chi^2_n, wobei f\geq 0 und v\geq 0 gilt.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

\det {\frac  {\partial (x,y)}{\partial (f,v)}}={\begin{vmatrix}{\frac  mn}v&0\\\Diamond &1\end{vmatrix}}={\frac  mn}v

Der Wert \Diamond ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

g_{{F,\chi _{n}^{2}}}(f,v)={\frac  {1}{2^{{\frac  m2}}\Gamma ({\frac  m2})}}\left(fv\,{\frac  mn}\right)^{{{\frac  {m}{2}}-1}}e^{{-{\frac  12}(fv\,{\frac  mn})}}\cdot {\frac  {1}{2^{{\frac  n2}}\Gamma ({\frac  n2})}}v^{{{\frac  {n}{2}}-1}}e^{{-{\frac  12}v}}\cdot {\frac  {m}{n}}v.

Gesucht ist nun die Randverteilung g_{{m,\,n}}(f) als Integral über die nicht interessierende Variable v:

{\displaystyle g_{m,n}(f)=\int \limits _{0}^{\infty }g_{F,\chi _{n}^{2}}(f,v)\,dv={\frac {({\frac {m}{n}})^{\frac {m}{2}}f^{{\frac {m}{2}}-1}}{2^{\frac {m+n}{2}}\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int \limits _{0}^{\infty }v^{{\frac {m+n}{2}}-1}e^{-{\frac {v}{2}}(1+{\frac {m}{n}}f)}\,dv=m^{\frac {m}{2}}n^{\frac {n}{2}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {m}{2}}+{\frac {n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\cdot {\frac {f^{{\frac {m}{2}}-1}}{(mf+n)^{\frac {m+n}{2}}}}.}

Quantilfunktionen

Das p-Quantil der F-Verteilung x_p ist die Lösung der Gleichung p=F(x_p|m,\,n) und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

{\displaystyle x_{p}={\frac {nI^{-1}(p,{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}})}{m(1-I^{-1}(p,{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}))}}}

mit I^{{-1}} als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert x_p ist in der F-Verteilungstabelle unter den Koordinaten p, m und n eingetragen .

Für einige Werte m, n lassen sich die Quantilsfunktionen x_{p}(m,\,n) explizit ausrechnen. Man löst das Beta-Integral {\displaystyle I({\tfrac {mx}{mx+n}},{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})} mit m,n=1,2,\dotsc , wobei für ein paar Indizes invertierbare Funktionen auftreten:

{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c}m\downarrow ,\,n\rightarrow &1&2&3&4\\\hline 1&\tan({\frac {\pi }{2}}p)^{2}&{\frac {2p^{2}}{1-p^{2}}}&?&{\frac {4}{2\cos({\frac {2\arcsin(p)}{3}})-1}}-4\\\hline 2&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{(1-p)^{2}}}-1)&{\frac {p}{1-p}}&{\frac {3}{2}}({\frac {1}{(1-p)^{2/3}}}-1)&{\frac {2}{\sqrt {1-p}}}-2\\\hline 3&?&{\frac {2p^{2/3}}{3-3p^{2/3}}}&?&?\\\hline 4&{\frac {1}{(4\sin({\frac {\arcsin(1-p)}{3}}))^{2}}}-{\frac {1}{4}}&{\frac {\sqrt {p}}{2(1-{\sqrt {p}})}}&?&{\frac {1}{{\frac {1}{2}}+\sin({\frac {\arcsin(1-2p)}{3}})}}-1\\\end{array}}}

Aus der jeweils vollständigen Zeile und Spalte kann man sogar die allgemeinen Ausdrücke für höhere Indizes ablesen. Man findet:

{\displaystyle x_{p}(2,\,n)={\frac {n}{2}}\left({\frac {1}{(1-p)^{2/n}}}-1\right)}
{\displaystyle x_{p}(m,\,2)={\frac {2}{m}}\left({\frac {p^{2/m}}{1-p^{2/m}}}\right)}

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.11. 2022