Glatter Raum

Glatte normierte Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um normierte Räume, deren Norm eine gewisse Glattheitseigenschaft hat.

Definitionen

Es sei (X,\|\cdot \|) ein normierter Raum, B_{X}:=\{x\in X;\,\|x\|\leq 1\} sei die Einheitskugel und S_{X}:=\{x\in X;\,\|x\|=1\} ihr Rand, die sogenannte Einheitssphäre. Nach dem Satz von Hahn-Banach gibt es zu jedem x\in S_{X} ein stetiges, lineares Funktional f_{x}\in X^{*} mit \|f_{x}\|=1 und f_{x}(x)=1.

Dieses Funktional f_{x} definiert die Hyperebene \{y\in X;\,f_{x}(y)=1\}, die B_{X} in x schneidet und keinen Punkt aus dem Inneren der Einheitskugel enthält. Eine solche Hyperebene nennt man eine Stützhyperebene an x, das Funktional f_{x} heißt Stützfunktional an x. Stellt man sich eine Hyperebene als lineare Approximation der Kugeloberfläche vor, so liegt es nahe, einen Punkt x\in S_{X} einen Glattheitspunkt zu nennen, wenn es genau eine Stützhyperebene an x gibt, das heißt, wenn es genau ein f_{x}\in X^{*} gibt mit \|f_{x}\|=1 und f_{x}(x)=1.

Ein normierter Raum heißt glatt, wenn jeder Punkt der Einheitssphäre ein Glattheitspunkt ist. Die Einheitskugel eines glatten Raums ist damit eine glatte konvexe Menge.

Stützabbildung

Man nennt eine Abbildung f:X\setminus \{0\}\rightarrow X^{*}\setminus \{0\},x\mapsto f_{x}, eine Stützabbildung, falls folgendes gilt:

Definitionsgemäß gibt es in einem glatten Raum genau eine Stützabbildung, man kann also von der Stützabbildung eines glatten Raums sprechen. Man kann zeigen, dass diese norm-schwach*-stetig ist, das heißt stetig, wenn man auf X\setminus \{0\} die Normtopologie und auf X^{*}\setminus \{0\} die schwach-*-Topologie betrachtet.

Beispiele

Die euklidische Norm links ist glatt, die Maximumsnorm rechts nicht.

Zweidimensionaler Raum

Glattheit hängt von der Norm ab und kann beim Übergang zu einer äquivalenten Norm verloren gehen. Das zeigt sich schon am Beispiel des zweidimensionalen Raums \mathbb {R} ^{2}. Versieht man den zweidimensionalen Raum mit der euklidischen Norm \|.\|_{2}, so ist die Einheitssphäre ein Kreis und jeder Punkt hat genau eine Stützhyperebene, nämlich die Tangente an diesem Punkt, das heißt (\mathbb{R} ^{2},\|.\|_{2}) ist glatt. Betrachtet man auf dem \mathbb {R} ^{2} die Maximumsnorm \|.\|_{\infty }, so ist die „Einheitskugel“ ein Quadrat. An jeder Ecke des Quadrates gibt es unendlich viele Stützhyperebenen, alle anderen Punkte sind Glattheitspunkte. Damit ein Raum glatt ist, muss aber jeder Punkt der Einheitssphäre ein Glattheitspunkt sein, das heißt (\mathbb{R} ^{2},\|.\|_{\infty }) ist nicht glatt. Da die euklidische Norm und die Maximumsnorm auf dem \mathbb {R} ^{2} äquivalent sind, sieht man an diesem Beispiel, dass die Glattheit beim Übergang zu einer äquivalenten Norm verloren gehen kann.

Weitere Beispiele

Charakterisierungen

Folgende Aussage über einen normierten Raum (X,\|\cdot \|) sind äquivalent:

Dualität

Über die Dualität besteht ein enger Zusammenhang zur strikten Konvexität.

Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht.

Renormierbarkeit

Da die Glattheit beim Übergang zu einer äquivalenten Norm verloren gehen kann, stellt sich in natürlicher Weise die Frage, zu welchen normierten Räumen es äquivalente, glatte Normen gibt, die also durch Übergang zu einer äquivalenten Norm glatt werden. Solche Räume nennt man glatt renormierbar.

Reflexive Räume sind strikt konvex renormierbar und daher wegen obiger Dualitätseigenschaften auch glatt renormierbar, sogar glatt und gleichzeitig strikt konvex renormierbar. Das gilt allgemeiner für schwach kompakt erzeugte Räume.

\ell ^{\infty } ist nicht glatt renormierbar.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.12. 2020