Website durchsuchen

σ-Endlichkeit

Der Begriff der \sigma -Endlichkeit (auch \sigma -Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in \sigma -endliche und nicht \sigma -endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die \sigma -Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem {\mathcal {M}} auf der Grundmenge X, also  \mathcal M \subset \mathcal P (X) . Sei

 \mu: \mathcal M \to [0,\infty]

eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion \sigma -endlich, wenn es eine abzählbare Folge (A_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} von Mengen aus {\mathcal {M}} gibt, so dass

 \bigcup_{n=1}^\infty A_n = X

gilt und

{\displaystyle \mu (A_{n})<\infty {\text{ für alle }}n\in \mathbb {N} }

gilt. Allgemeiner wird ein signiertes Maß \sigma -endlich genannt, wenn seine Variation \sigma -endlich ist.

Ist \mu ein Maß und \sigma -endlich auf der \sigma -Algebra  \mathcal A , so nennt man den Maßraum  (X, \mathcal A, \mu ) auch einen \sigma -endlichen Maßraum.

Anwendung

Beispiele

Äquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmaßen

Zwei Maße \mu und \nu auf einem gemeinsamen Messraum {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} heißen äquivalent, wenn sie dieselben Nullmengen besitzen. Das heißt, es gilt sowohl {\displaystyle \mu \ll \nu } als auch \nu \ll \mu , sie sind gegenseitig absolut stetig. Hierdurch ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf Maßen erklärt. Wir nehmen im Weiteren an, {\displaystyle \mu \not \equiv 0} sei nicht das Nullmaß.

Viele der Anwendungen \sigma -endlicher Maße ergeben sich nun aus dem folgenden Satz:

Jedes \sigma -endliche Maß \mu ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß P.

Die Bedeutung des Satzes liegt in der Äquivalenz zu einem endlichen Maß, selbst dann, wenn {\displaystyle \mu (X)=\infty } unendlich ist. Insbesondere gibt es stets eine \mu -integrierbare Funktion {\displaystyle w\in L^{1}(\mu )}, so dass {\displaystyle 0<w(x)<1} für alle x\in X gilt.

Inhalte und Prämaße

Völlig analog spricht man auch auf Halbringen von \sigma -endlichen Inhalten und Prämaßen. Nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory ist jedes \sigma -endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten \sigma -Algebra fortsetzbar (ohne \sigma -Endlichkeit folgt nicht die Eindeutigkeit).

Verwandte Begriffe

Ein dem \sigma -endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines moderaten Maßes. Hierbei handelt es sich um ein Borel-Maß, für das eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.

Zudem existiert ein Begriff der s-Endlichkeit. Man nennt ein Maß m s-endlich falls m die abzählbare Summe von endlichen Maßen ist, das heißt es gilt {\displaystyle m=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }m_{n}} für eine Folge von endlichen Maßen (m_{n}).

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 28.03. 2021