Zählmaß (Maßtheorie)

Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum (\Omega ,{\mathfrak  P}(\Omega )) definieren, wobei \Omega eine beliebige Menge und {\mathfrak  P}(\Omega ) ihre Potenzmenge ist. Ist \Omega eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn \Omega abzählbar ist.

Definition

Das Zählmaß einer Menge A \subseteq \Omega ist wie folgt definiert:

\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{, falls }}A{\text{ endlich ist,}}\\+\infty &{\text{, falls }}A{\text{ unendlich ist.}}\end{cases}}

Beispiele

Integral der Funktion x\mapsto x^2 auf dem Intervall [-10,10] bzgl. dem Zählmaß über \mathbb {N}

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum (\mathbb{N} ,{\mathfrak  P}(\mathbb{N} )), entspricht das Zählmaß der Abbildung

\mu \colon {\mathfrak  P}(\mathbb{N} )\to [0,\infty ]{\text{, }}A\mapsto \sum _{{k\in \mathbb{N} }}\chi _{{A}}(k).

Hierbei bezeichnet \chi _{A} die charakteristische Funktion der Menge A\subseteq \mathbb{N} .

Mit Hilfe des Zählmaßes auf \mathbb {N} lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{R} :

\sum _{{k=1}}^{\infty }f(k) konvergiert absolut \Longleftrightarrow f ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf {\mathfrak  P}({\mathbb  N}).

In diesem Fall gilt

{\displaystyle \int _{\mathbb {N} }f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{\infty }f(k)}.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 26.08. 2017