Zählmaß (Maßtheorie)

Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum $(\Omega ,{\mathfrak P}(\Omega ))$ definieren, wobei $\Omega$ eine beliebige Menge und ${\mathfrak P}(\Omega )$ ihre Potenzmenge ist. Ist $\Omega$ eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn $\Omega$ abzählbar ist.

Definition

Das Zählmaß einer Menge $A \subseteq \Omega$ ist wie folgt definiert:

$\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{, falls }}A{\text{ endlich ist,}}\\+\infty &{\text{, falls }}A{\text{ unendlich ist.}}\end{cases}}$

Beispiele

Integral der Funktion $x\mapsto x^2$ auf dem Intervall

bzgl. dem Zählmaß über $\mathbb {N}$

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum $(\mathbb{N} ,{\mathfrak P}(\mathbb{N} ))$ , entspricht das Zählmaß der Abbildung

$\mu \colon {\mathfrak P}(\mathbb{N} )\to [0,\infty ]{\text{, }}A\mapsto \sum _{{k\in \mathbb{N} }}\chi _{{A}}(k).$

Hierbei bezeichnet $\chi _{A}$ die charakteristische Funktion der Menge $A\subseteq \mathbb{N}$ .

Mit Hilfe des Zählmaßes auf $\mathbb {N}$ lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung $f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ :

$\sum _{{k=1}}^{\infty }f(k)$ konvergiert absolut $\Longleftrightarrow$ ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf ${\mathfrak P}({\mathbb N}).$

In diesem Fall gilt

$\int _{\mathbb {N} }f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de