Mengenfunktion

In der Mathematik sind Mengenfunktionen Funktionen, die bestimmten Mengen (den Mengen eines Mengensystems) Werte zuordnen, in der Regel nicht-negative reelle Zahlen oder den Wert \infty . Funktionen, die als Werte Mengen annehmen werden hingegen mengenwertige Funktionen genannt.

Mengenfunktionen bilden die Basis für die Maßtheorie, wo unter anderem Mengenfunktionen, wie Maße oder Inhalte, auf genauere Eigenschaften untersucht werden.

Motivation

Mengenfunktionen sind besonders wichtig in der Maßtheorie. Idee der Maßtheorie ist es, Mengen eine (reelle) Maßzahl zuordnen zu können. Ein einfaches Beispiel wäre etwa, die Elemente von einer endlichen Menge zu zählen: Die Menge \{1,3,5,27\}\subseteq \mathbb{N} etwa erhält dann Maß 4.

Man möchte jedoch nicht nur einer Menge einen Wert zuordnen, sondern einem ganzen Mengensystem, also einer Menge von Mengen. Betrachtet man beispielsweise das Mengensystem: {\mathcal  {C}}:=\{\{3\},\{5\},\{1,3,27\},\{1,3,5,27\}\}\subseteq {\mathcal  {P}}({\mathbb  {N}}), und definiert eine Funktion f:{\mathcal  {C}}\to {\mathbb  {R}}, die die Anzahl der Elemente zählt, so erhält man eine Mengenfunktion. Für die Mengenfunktion f gilt dann f(\{3\})=1, f(\{5\})=1, f(\{1,3,27\})=3, f(\{1,3,5,27\})=4.

Nun kann man Mengenfunktionen auf ihre Eigenschaften untersuchen. In der Maßtheorie fordert man häufig bestimmte Stabilitätseigenschaften, wie beispielsweise die Additivität, das heißt, dass wenn man eine Menge zerteilt, so müssen die zwei neuen Mengen zusammen den gleichen Wert annehmen, wie die Ausgangsmenge. Dies ist im obigen Beispiel beim Zählen erfüllt, so ist f(\{5\})+f(\{1,3,27\})=1+3=4=f(\{1,3,5,27\}).

Formale Definition

Sei X eine nichtleere Menge und {\mathcal  {C}}\subseteq {\mathcal  P}(X) ein Mengensystem mit \emptyset \in {\mathcal  {C}}. Weiter sei zunächst {\displaystyle W=\mathbb {R} ^{+}\cup \{\infty \}}, kurz {\displaystyle W=[0,\infty ]}.
Dann nennt man jede Abbildung f\colon \,{\mathcal  {C}}\to W mit f(\emptyset )=0 eine Mengenfunktion.

Von einer Mengenfunktion spricht man zumeist auch, wenn W={\mathbb  R}\cup \{-\infty \} oder W={\mathbb  R}\cup \{\infty \} ist (signiertes Maß) oder W={\mathbb  {C}} (komplexes Maß).

Beispiele

Besondere Eigenschaften von Mengenfunktionen

Die Mengenfunktion f heißt:

Allgemeine Eigenschaften

monoton, falls A\subseteq B\Rightarrow f(A)\leq f(B) für A,B\in {\mathcal  {C}}
endlich, falls für alle A\in {\mathcal  {C}}\Rightarrow f(A)<\infty
σ-endlich, falls es eine Folge (A_j)_{j\in\mathbb{N}} mit \bigcup _{{j\in {\mathbb  {N}}}}A_{j}=\Omega und f(A_{j})<\infty für alle j\in {\mathbb  {N}} gibt.
beschränkt, falls für alle A\in {\mathcal  {C}}: \sup _{{A\in {\mathcal  {C}}}}|f(A)|<\infty
vollständig, falls für alle A\in {\mathcal  {C}} mit f(A)=0 und B\subseteq A: B\in {\mathcal  {C}} gilt.

Verträglichkeit von Addition und Vereinigung

additiv, falls f(A\cup B)=f(A)+f(B) für disjunkte Mengen A,B aus {\mathcal {C}} mit A\cup B\in {\mathcal  {C}}
endlich additiv, falls f(\bigcup _{{j=1}}^{{m}}A_{j})=\sum _{{j=1}}^{{m}}f(A_{j}) für beliebige, paarweise disjunkte Mengen A_{1},...,A_{m} aus {\mathcal {C}}
σ-additiv (sigma-additiv), falls f(\bigcup _{{j\in {\mathbb  {N}}}}A_{j})=\sum _{{j\in {\mathbb  {N}}}}f(A_{j}) für jede Folge disjunkter Mengen (A_j)_{j\in\mathbb{N}} in {\mathcal {C}} mit \bigcup _{{\in {\mathbb  {N}}}}A_{j}\in {\mathcal  {C}}
subadditiv, falls f(A\cup B)\leq f(A)+f(B) für A,B aus {\mathcal {C}} mit A\cup B\in C
endlich subadditiv, falls f(\bigcup _{{j=1}}^{{m}}A_{j})\leq \sum _{{j=1}}^{{m}}f(A_{j}) für alle Mengen A_{1},...,A_{m} aus {\mathcal {C}} mit \bigcup _{{j=1}}^{{m}}A_{j}\in C
σ-subadditiv (sigma-subadditiv), falls f(\bigcup _{{j\in {\mathbb  {N}}}}A_{j})\leq \sum _{{j\in {\mathbb  {N}}}}f(A_{j}) für jede Folge von Mengen (A_j)_{j\in\mathbb{N}} in {\mathcal {C}} mit \bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j \in \mathcal{C}
subtraktiv, falls für alle A,B\in {\mathcal  {C}} mit B\subseteq A, f(B)<\infty und A\setminus B\in {\mathcal  {C}}: f(A\setminus B)=f(A)-f(B). Dabei fordert man f(B)<\infty , um nicht-definierte Differenzen \infty -\infty zu vermeiden.
modular, falls für alle A,B\in {\mathcal  {C}} und A\cup B,A\cap B\in {\mathcal  {C}}: f(A\cup B)+f(A\cap B)=f(A)+f(B)

Stetigkeit

Hauptartikel: σ-Stetigkeit
stetig von unten, falls für jede monoton wachsende Folge (A_{j})_{{j\in {\mathbb  {N}}}} mit A_{j}\in {\mathcal  {C}} und \bigcup _{{j\in {\mathbb  {N}}}}A_{j}\in {\mathcal  {C}}:
f\left(\bigcup _{{i\in {\mathbb  {N}}}}A_{i}\right)=\sup _{{i\in {\mathbb  {N}}}}f(A_{i})

gilt.

stetig von oben, falls für jede monoton fallende Folge (A_{j})_{{j\in {\mathbb  {N}}}} mit A_{j}\in {\mathcal  {C}}, f(A_{1})<\infty und \bigcap _{{j\in {\mathbb  {N}}}}A_{j}\in {\mathcal  {C}}:
f\left(\bigcap _{{i\in {\mathbb  {N}}}}A_{i}\right)=\inf _{{i\in {\mathbb  {N}}}}f(A_{i})

gilt.

\emptyset -stetig von oben, falls für jede monoton fallende Folge (A_{j})_{{j\in {\mathbb  {N}}}} mit A_{j}\in {\mathcal  {C}}, f(A_{1})<\infty und \bigcap _{{j\in {\mathbb  {N}}}}A_{j}=\emptyset :
\inf _{{i\in {\mathbb  {N}}}}f(A_{i})=0

gilt.

Beziehungen zwischen den Eigenschaften

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.02. 2019