Lokal zusammenhängend

Lokal zusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Es handelt sich um topologische Räume, die um jeden Punkt herum im Kleinen zusammenhängend sind.

Definitionen

Indem man die Definition der Umgebungsbasis in obige Definition einbaut, kann man dies auch wie folgt umformulieren:

Beispiele

Topologischer Kamm
{\displaystyle \tau _{0}=\bigcap \left\{\sigma \mid \sigma {\text{ ist lokal zusammenhängende Topologie auf }}X{\text{ mit }}\sigma \supset \tau \right\}}
Es ist klar, dass die diskrete Topologie stets in der Menge, über die der Durchschnitt gebildet wird, enthalten ist. Man zeigt dann, dass dieser Durchschnitt eine lokal zusammenhängende Topologie auf X ist.
Der Übergang von einem topologischen Raum zu dem so konstruierten lokal zusammenhängenden Raum ist ein Funktor, der rechtsadjungiert zum Vergissfunktor ist, der den lokalen Zusammenhang vergisst. Die Kategorie der lokal zusammenhängenden Räume ist demnach eine koreflektive Unterkategorie in der Kategorie der topologischen Räume.

Äquivalente Charakterisierungen

Eigenschaften

Im Allgemeinen sind stetige Bilder lokal zusammenhängender Räume nicht wieder lokal zusammenhängend. Es gilt aber:
Ist f\colon X\rightarrow Y eine stetige, surjektive Abbildung eines kompakten, lokal zusammenhängenden Raums X auf einen Hausdorffraum Y, so ist Y lokal zusammenhängend.
Ist (X_{i})_{i\in I} eine Familie lokal zusammenhängender Räume, so ist das Produkt \textstyle \prod _{{i\in I}}X_{i} genau dann lokal zusammenhängend, wenn alle X_{i} bis auf höchstens endliche viele Ausnahmen zusammenhängend sind.

Satz von Hahn-Mazurkiewicz

Der Satz von Hahn-Mazurkiewicz, benannt nach Hans Hahn und Stefan Mazurkiewicz, charakterisiert diejenigen Hausdorffräume, die Quotientenraum des Einheitsintervalls sind. Nach Obigem müssen diese lokal zusammenhängend sein, aber auch Eigenschaften wie Kompaktheit, Zusammenhang und das zweite Abzählbarkeitsaxiom folgen sofort. Die Umkehrung ist die nicht-triviale Richtung im folgenden Satz

Zusammenhängende, kompakte Hausdorffräume mit abzählbarer Basis nennt man auch Kontinua. Damit lässt sich der Satz von Hahn-Mazurkiewicz wie folgt umformulieren:

Insbesondere ist eine kompakte und zusammenhängende Teilmenge des \mathbb {R} ^{n} genau dann stetiges Bild des Einheitsintervalls, wenn sie lokal zusammenhängend ist.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.05. 2021