Quadratische Optimierung

Die quadratische Optimierung oder quadratische Programmierung und der damit eng verbundene Begriff des quadratischen Programms mit quadratischen Restriktionen ist ein spezielles Problem in der mathematischen Optimierung, das sich durch die Einfachheit der auftretenden Funktionen auszeichnet. Quadratische Programme treten zum Beispiel bei der Minimierung von Abstandsfunktionen auf oder als Unterprobleme von komplexeren Optimierungsproblemen.

Definition

Es seien E;G\in \mathbb{R} ^{{m\times n}} reelle m\times n-Matrizen, Q \in \R^{n \times n} eine symmetrische Matrix, c;x\in \mathbb{R} ^{n} sowie f;h\in \mathbb{R} ^{m} reelle Vektoren und schließlich d\in \mathbb {R} eine reelle Zahl.

Ein Optimierungsproblem der Form

{\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&s(x)={\tfrac  {1}{2}}x^{T}Qx+c^{T}x+d\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&Ex\leq f\\&Gx=h\end{aligned}}

heißt ein quadratisches Optimierungsproblem oder ein quadratisches Programm (englisch quadratic program, kurz QP).

Ist das Problem von der Form

{\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&s(x)={\tfrac  {1}{2}}x^{T}Qx+c^{T}x+d&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&{\tfrac  {1}{2}}x^{T}P_{i}x+r_{i}^{T}x+f_{i}\leq 0&i=1,\dots ,m\\&Gx=h&\end{aligned}}

für symmetrische Matrizen (P_{i})_{{1\leq i\leq m}} und Serien von Vektoren (r_{i})_{i};(f_{i})_{i}, so heißt es ein quadratisches Programm mit quadratischen Nebenbedingungen (englisch quadratically constrained quadratic program, kurz QCQP).

Spezialfälle

Beispiel

Betrachte als Beispiel das Problem

{\displaystyle {\begin{aligned}\min \ &\left\Vert x-(-1,-1)^{T}\right\Vert _{2}^{2}&\\{\text{u. d. N. }}&{\tfrac {x_{1}^{2}}{4}}+x_{2}^{2}-1\leq 0&\\&x_{1}-x_{2}\geq -1&\end{aligned}}}

Ein Umschreiben der quadratischen Terme liefert die in der Definition gegebene Darstellung mit Matrix-Vektor-Produkten:

{\displaystyle {\begin{aligned}\min \ &{\tfrac {1}{2}}x^{T}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}x+(2,2)x+2&\\{\text{u. d. N. }}&{\tfrac {1}{2}}x^{T}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0{,}5&0\\0&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}x-1\leq 0&\\&(-1,1)x-1\leq 0&\end{aligned}}}.

Es handelt sich also um ein quadratisches Programm mit quadratischen Nebenbedingungen. Insbesondere ist es ein konvexes Optimierungsproblem, da alle auftretenden Matrizen positiv definit sind.

Optimalitätskriterien

Allgemeiner Fall

Für beliebige Eingabeparameter gibt es das notwendige Optimalitätskriterium, dass wenn x^{*} ein lokales Minimum eines QPs oder QCQPs ist, dann existieren \mu ^{*},\lambda ^{*},z^{*}, so dass (z^{*},x^{*},\mu ^{*},\lambda ^{*}) ein Fritz-John-Punkt ist und (z^{*},\mu ^{*},\lambda ^{*}) ungleich dem Nullvektor ist. Sind noch zusätzliche gewisse Regularitätsvoraussetzungen wie zum Beispiel die LICQ, die MFCQ oder die Abadie CQ in x^{*} erfüllt, so gibt es \mu ^{*},\lambda ^{*}, so dass (x^{*},\mu ^{*},\lambda ^{*}) ein Karush-Kuhn-Tucker-Punkt ist.

Für konvexe Probleme

Sind die Matrizen Q,P_{i} alle positiv semidefinit, so handelt es sich um ein konvexes Problem. Als Regularitätsbedingung für die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen steht somit auch die Slater-Bedingung zur Verfügung, welche die Regularität aller zulässigen Punkte liefert. Des Weiteren ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum. Außerdem ist jeder Karush-Kuhn-Tucker-Punkt ohne weitere Regularitätsvoraussetzungen ein globales Minimum und somit ein hinreichendes Optimalitätskriterium.

Quadratische Programme mit Gleichungsrestriktionen

Betrachtet man das Quadratische Programm, das nur Gleichungsrestriktionen enthält

{\begin{aligned}\min \ &\,{\tfrac  {1}{2}}x^{T}Qx+c^{T}x+d\\{\text{u.d.N. }}&\,Gx=h,\end{aligned}}

so ist jeder KKT-Punkt (x^{*},\mu ^{*}) des obigen Problems eine Lösung des linearen Gleichungssystems

{\begin{bmatrix}Q&G^{T}\\G&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\ c\\h\end{bmatrix}}.

Ist  Q positiv semidefinit, so ist die Lösung des Gleichungssystems aufgrund der Konvexität des Problems eine globale Optimallösung des Optimierungsproblems. Lineare Gleichungssysteme der obigen Form werden auch Sattelpunktprobleme genannt, da man sie als Bestimmung des Sattelpunktes der Lagrange-Funktion auffassen kann.

Anwendungen

Typische Anwendungsfälle sind:

Lösungsmethoden

Als Lösungsmethoden werden verwendet:

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 27.12. 2020