Integrallogarithmus

Der Integrallogarithmus ist eine analytische
Funktion auf den reellen
Zahlen
(oder
)
in die reellen Zahlen. Sie hat praktische Relevanz in einigen Gebieten der
Physik wie der Quantenfeldtheorie
und bei der Lösung der Laplace-Gleichung
in Halbleitern sowie in der Zahlentheorie, da sie eng
mit der Dichte der Primzahlen
verknüpft ist.
Definition
Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.
Eine Definition im Bereich
lautet
dabei muss
wegen der Singularität
bei
für
über einen Grenzwert
definiert werden (cauchyscher
Hauptwert):
Eine andere Definition für
ist
Bei
liegt keine Polstelle, sondern eine logarithmische
Singularität vor.
Eigenschaften

Einige Werte:
(Folge A069284 in OEIS)
Dabei ist
(Folge A070769 in OEIS)
die Ramanujan-Soldner-Konstante.
Es gilt
mit der Integralexponentialfunktion
,
daraus erhält man die Reihendarstellung
wobei
(Folge A001620 in OEIS)
die Euler-Mascheroni-Konstante
ist.
Aus der Definition von
erhält man durch lineare
Substitution
wobei für
wegen der Singularität bei
der cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss.
Ferner haben wir für
Außerdem gilt für
für
erhält man
Im Grenzfall
ist
Eine weitere Formel ist
Die Golomb-Dickman-Konstante
(Folge A084945 in OEIS)
tritt in der Theorie zufälliger
Permutationen bei der Abschätzung der Länge des längsten Zykels einer Permutation und in der
Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten Primfaktors einer
Zahl auf.
Asymptotisches Verhalten

Für große
lässt sich
durch
approximieren. Die Reihe
ist eine asymptotische
Entwicklung; sie konvergiert
nicht, sondern nähert sich dem wahren Wert an, um sich dann wieder zu entfernen.
Die beste Approximation wird nach etwa
Gliedern erreicht, dann werden die Summanden größer durch die stärker werdende
Wirkung der Fakultät.
Siehe auch



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.05. 2021