Integralexponentialfunktion

Darstellung der Funktionen $\operatorname {E_{1}} (x)$

Darstellung der Funktionen $\operatorname {Ei}(x)$

Darstellung der Funktionen $\operatorname {li}(x)$

Darstellung der Funktionen $\operatorname {Ein} (x)$

In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion $\operatorname {Ei}(x)$ als

$\operatorname {Ei}(x)=\int _{{-\infty }}^{x}{\frac {e^{t}}t}\,{\mathrm d}t=-\int _{{-x}}^{\infty }{\frac {e^{{-t}}}t}\,{\mathrm d}t$

definiert.

Da ${\tfrac 1t}$ bei t=0 divergiert, ist das obige Integral für x>0 als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung

$\operatorname {Ei}(x)=\gamma +\ln \left|x\right|+\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}\ ,$

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus $\operatorname {li}(x)$ verwandt, es gilt

$\operatorname {li}(x)=\operatorname {Ei}(\ln x)\quad 0<x\neq 1.$

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

$\operatorname E_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{{-tx}}}t}\,{\mathrm d}t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{{-t}}}t}\,{\mathrm d}t.$

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

$\operatorname {Ei}(-x)=-\operatorname E_{1}(x).$

$\operatorname {Ein} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k!k}}$

lassen sich die anderen beiden als

$\operatorname E_{1}(x)=-\gamma -\ln x+\operatorname {Ein}(x)$

bzw.

$\operatorname {Ei}(x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ein}(-x)$

darstellen.

Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion

$E_{n}(x)=x^{{n-1}}\Gamma (1-n,x).$

Sie kann auch als

$E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{{-xt}}}{t^{n}}}\,{\mathrm d}t\quad \Re (x)>0$

verallgemeinert werden.

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