Wirkung (Physik)
Physikalische Größe | |||||||
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Name | Wirkung | ||||||
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Die Wirkung
ist eine physikalische
Größe mit der Dimension
Energie mal
Zeit
oder Impuls
mal Weglänge. Diese Dimension ist formal gleich der des Drehimpulses. Jedoch ist die
Wirkung ein Skalar,
der Drehimpuls ein Axialvektor.
Die Bewegungsgleichungen physikalischer Systeme ergeben sich aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung.
Nach der Quantenmechanik haben Wirkungen ebenso wie Drehimpulse nicht beliebige Beträge, sondern sind immer ganzzahlige oder halbzahlige Vielfache des Planckschen Wirkungsquantums.
Bewegungsgleichungen
Die Gleichungen, mit denen die theoretische Physik Teilchen und ihre Wechselwirkungen beschreibt, folgen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung. In der Mechanik beispielsweise sind die tatsächlich durchlaufenen Bahnen dadurch ausgezeichnet, dass bei ihnen die Wirkung verglichen mit anderen Bahnen ein Minimum annimmt.
In Newtons
Mechanik ist die Wirkung das zeitliche Integral über die Differenz der kinetischen
und der potentiellen
Energie. Jeder Bahn ,
die im Laufe der Zeit
von einem Anfangspunkt
zu einem Endpunkt
durchlaufen wird, wird eine Wirkung
zugeordnet:
Dabei ist die Lagrangefunktion
die Differenz von kinetischer und potentieller Energie, beispielsweise eines
Teilchens der Masse
,
das sich im Potential
mit der potentiellen Energie
bewegt:
Unter allen denkbaren Bahnen, die anfänglich durch
und schließlich durch
laufen, haben die physikalischen Bahnen die kleinste (genauer: eine stationäre)
Wirkung und erfüllen daher die Euler-Lagrange-Gleichung
die der Bewegungsgleichung des Teilchens entspricht.
So wie die Gleichungen der newtonschen Mechanik lassen sich auch die Gleichungen der relativistischen Mechanik, die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik, die Einsteingleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie und die Gleichungen des Standardmodells der elementaren Wechselwirkungen aus der Bedingung herleiten, dass eine Wirkung einen stationären Wert hat.
Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel
Bevor man mit der Quantenmechanik das Verhalten von Atomen zutreffend beschreiben konnte, haben Bohr und Sommerfeld die Spektren einfacher Atome durch das Bohrsche Atommodell erklärt („ältere Quantenmechanik“). Spektrallinien treten dort als Energiedifferenzen zweier „diskreter“ Elektronenbahnen auf. Die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel fordert von der Bahn des Elektrons um den Atomkern, dass nicht nur die Bewegungsgleichung gelten muss, sondern für jeden Umlauf zusätzlich:
Dabei ist
der Impuls
der Ort, der durchlaufen wird
das Plancksche Wirkungsquantum.
Dieses Linienintegral hat wie ein Drehimpuls die Dimension Ort mal Impuls und ist eine Wirkung. Die Wirkung jeder stationären Elektronenbahn im Atom ist also gequantelt, d.h. sie tritt nur als ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums auf.
Unschärferelation
In Systemen, die mit der Quantenmechanik beschrieben werden müssen, lassen sich oft die Ergebnisse von Messungen nicht sicher vorhersagen, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Messergebnisse. Die Schwankung der Ergebnisse um ihren Mittelwert nennt man Unschärfe. Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass das Produkt von Orts- und Impulsunschärfe nicht kleiner als die Hälfte des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums sein kann:



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.05. 2021