Leuchtdichte

Physikalische Größe
Name Leuchtdichte
Formelzeichen L_{{\mathrm  {v}}}
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI cd·m−2 L−2·J

Die Leuchtdichte Lv (englisch luminance) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit des von einer Lichtquelle abgegebenen Lichtstroms. Die Leuchtdichte einer Fläche bestimmt, mit welcher Flächenhelligkeit das Auge die Fläche wahrnimmt und hat daher von allen photometrischen Größen den unmittelbarsten Bezug zur optischen Sinneswahrnehmung.

Die Leuchtdichte beschreibt die Helligkeit von ausgedehnten, flächenhaften Lichtquellen; für die Beschreibung der Helligkeit von punktförmigen Lichtquellen ist die Lichtstärke besser geeignet.

Definition

Die meisten Objekte geben von unterschiedlichen Stellen ihrer Oberfläche unterschiedlich viel Licht ab.
Die meisten Objekte geben in unterschiedliche Richtungen unterschiedlich viel Licht ab.

Für den Helligkeitseindruck einer Lichtquelle sind neben dem ausgesandten Lichtstrom {\textstyle \Phi _{\mathrm {v} }}, gemessen in Lumen (lm), vor allem zwei weitere Größen maßgebend:

Der Begriff der Leuchtdichte {\displaystyle L_{\mathrm {v} }} kombiniert beides und beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit des abgegebenen Lichtstroms:

{\displaystyle L_{\mathrm {v} }={\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }}{\mathrm {d} A\cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega }}}

\beta ist hierbei der Winkel zwischen Abstrahlrichtung und Flächennormale, die senkrecht auf dem Flächenelement {\displaystyle \mathrm {d} A\ } steht. Im Fall einer gleichmäßig leuchtenden ebenen Fläche A mit gleichmäßiger Lichtstärke in den Raumwinkel \Omega vereinfacht sich diese Gleichung zu

{\displaystyle L_{\mathrm {v} }\,=\,{\frac {I_{\mathrm {v} }}{A\ \cos(\beta )}}\,=\,{\frac {\Phi _{\mathrm {v} }}{A\ \cos(\beta )\cdot \Omega }}}.

Der Faktor {\displaystyle 1/\cos(\beta )} wird hinzugefügt, weil das abstrahlende Flächenelement \mathrm {d} A um diesen Faktor verkürzt erscheint, der unter dem Polarwinkel \beta abgegebene Lichtstrom also um den Faktor \cos(\beta ) geringer ist als der senkrecht abgegebene Lichtstrom. Die Division durch \cos(\beta ) rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass in der Leuchtdichte nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften (z. B. dem Leuchtdichtekoeffizient) übrig bleibt.

Für die Definition der Leuchtdichte ist es unerheblich, ob es sich bei dem vom Flächenelement abgegebenen Licht um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittiertes oder reflektiertes Licht oder eine Kombination daraus handelt. Die Leuchtdichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Licht vorhanden ist. Man denke sich anstelle eines Licht abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives von Licht durchstrahltes Flächenelement im Raum.

Maßeinheiten

Die SI-Einheit der Leuchtdichte ist Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Im englischsprachigen Raum, vor allem in den USA, wird dafür auch die Bezeichnung Nit (lateinisch nitere = „scheinen“, Mehrzahl Nits) verwendet: 1 nt = 1 cd/m². Das Nit ist in der EU und der Schweiz keine gesetzliche Einheit.

Weitere Einheiten sind:

Typische Werte

Empfindlichkeit der Augen

Der Beobachter nimmt die Leuchtdichten der ihn umgebenden Flächen unmittelbar als deren Flächenhelligkeiten wahr. Aufgrund der Anpassungsfähigkeit des Auges können die wahrnehmbaren Leuchtdichten zahlreiche Größenordnungen überstreichen. Das menschliche Auge hat zwei Arten von Sinneszellen: die besonders lichtempfindlichen Stäbchen und die farbempfindlichen Zapfen.

Die angegebenen Werte schwanken von Mensch zu Mensch und sind auch von der Wellenlänge des Lichts abhängig.

Lichtquellen

Natürliche Lichtquellen
Leuchtdichte (cd/m2)
bewölkter Nachthimmel 10−6…10−4
sternklarer Nachthimmel 0,001
Nachthimmel bei Vollmond 0,1
mittlerer bedeckter Himmel 2.000
Oberfläche des Mondes 2.500
mittlerer klarer Himmel 8.000
Sonnenscheibe am Horizont 6·105
Sonnenscheibe am Mittag 1600·106
Technische Strahler
Leuchtdichte (cd/m2)
Elektrolumineszenz-Folie 30…200
T8 Fluoreszenzröhre, kaltweiß 11.000
matte 60-W-Glühlampe 120.000
Natriumdampflampe 500.000
Schwarzer Strahler bei 2045 K 600.000
Draht einer Halogenlampe 20… 30·106
weiße LED 50·106
Xenon-Gasentladungslampe 5000·106
Monitore
Leuchtdichte (cd/m2)
Röhrenmonitor: schwarz teilweise < 0,01
LCD: schwarz 0,15…0,8
Röhrenmonitor: weiß 80…200
LCD: weiß 150…500
LED Outdoor Videowall 5.000…7.500

Lambertscher Strahler

Mit der oben genannten Definition {\textstyle L_{\mathrm {v} }=\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }/(\mathrm {d} A\cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega )} kann man umgekehrt den Lichtstrom berechnen, der von einer Abstrahlfläche emittiert wird:

{\displaystyle \Phi _{\mathrm {v} }=\int _{\Omega }\int _{A}L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot \mathrm {d} \Omega \,}.

Da {\displaystyle L_{\mathrm {v} }} im Allgemeinen vom Ort x,y auf der Leuchtfläche und von den überstrichenen Richtungen \beta und \varphi abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral.

Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Oberfläche von allen Stellen in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte {\displaystyle L_{\mathrm {v} }=\mathrm {const.} } abgibt. Einen solchen Körper nennt man diffusen Strahler oder lambertschen Strahler.

Ein Beispiel für eine diffus leuchtende Fläche ist ein beleuchtetes Blatt Papier. Dass das Papier diffus strahlt, also in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte abgibt, bedeutet für den Betrachter, dass es aus allen Richtungen betrachtet dieselbe Flächenhelligkeit aufweist. Da es aber bei schräger Betrachtung um den Projektionsfaktor {\displaystyle \cos \beta } verkürzt erscheint (also einen kleineren Raumwinkel einnimmt) erreicht den Betrachter trotz gleich gebliebener Flächenhelligkeit eine geringere Lichtmenge: die Lichtstärke in dieser Richtung ist geringer.

Der von einem lambertschen Strahler in eine bestimmte Richtung abgegebene Lichtstrom \Phi _{{\mathrm  v}} variiert nur noch mit dem Cosinus des Abstrahlwinkels {\displaystyle \cos \beta }, und das Integral ist einfach:

{\displaystyle \Phi _{\mathrm {v} }=A\cdot L_{\mathrm {v} }\int _{\Omega }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega }.

Dieses verbleibende Integral hängt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels \Omega ab und kann unabhängig von {\displaystyle L_{\mathrm {v} }} gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt und fertig tabelliert werden.

Wird beispielsweise die Lichtausstrahlung in den gesamten von der Leuchtfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert {\textstyle \int _{\cap }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega =\pi } und der Lichtstrom in den gesamten Halbraum beträgt

{\displaystyle \Phi _{\mathrm {v} }=\pi \,A\,L_{\mathrm {v} }\,}.

Die spezifische Lichtausstrahlung ist dann entsprechend

{\displaystyle M_{\mathrm {v} }=\pi L_{\mathrm {v} }\,}.

Beispiel: Wenn ein Bildschirm mit der Leuchtdichte 200 cd/m2 und der Fläche 0,6 m2 die Eigenschaften eines lambertschen Strahlers hat, hat er eine spezifische Lichtausstrahlung von 200π lm/m2 und emittiert einen Lichtstrom von 120π lm.

Siehe auch: Lambertsches Gesetz

Photometrisches Grundgesetz

Das Photometrische Grundgesetz (auch: „radiometrisches und photometrisches Grundgesetz“) beschreibt den Lichtaustausch zwischen zwei Flächen. Die Leuchtdichte ist hier eine zentrale Größe.

Lichtausstrahlung

Zwei Flächen als gegenseitige Strahlungspartner im photometrischen Grundgesetz

Betrachtet man ein Flächenelement {\mathrm  {d}}A_{1}, welches mit der Leuchtdichte L_{1} ein im Abstand r befindliches Flächenelement {\mathrm  {d}}A_{2} beleuchtet, so spannt {\mathrm  {d}}A_{2} von {\mathrm  {d}}A_{1} aus betrachtet den Raumwinkel {\mathrm  {d}}\Omega _{2}=\cos(\beta _{2}){\mathrm  {d}}A_{2}/r^{2} auf, und aus der ersten Gleichung im vorigen Abschnitt folgt:

{\mathrm  {d}}^{2}\Phi _{{1\rightarrow 2}}=L_{1}\cdot \cos(\beta _{1})\,{\mathrm  {d}}A_{1}\,{\mathrm  {d}}\Omega _{2}={\frac  {L_{1}\cdot \cos(\beta _{1})\,\cos(\beta _{2})\,{\mathrm  {d}}A_{1}\,{\mathrm  {d}}A_{2}}{r^{2}}}

Dabei sind \beta _{1} und \beta _{2} die Neigungswinkel der Flächenelemente gegen die gemeinsame Verbindungslinie.

Dies ist das photometrische Grundgesetz. Durch Integration über die beiden Flächen ergibt sich der insgesamt von Fläche 1 nach Fläche 2 fließende Lichtstrom \Phi _{{1\rightarrow 2}}.

Lichteinstrahlung

Die Beleuchtungsdichte K ist analog zur Leuchtdichte, jedoch für den Einstrahlungsfall definiert. Sie gibt an, welcher Lichtstrom {\mathrm  {d}}^{2}\Phi aus der durch den Polarwinkel \beta und den Azimutwinkel \varphi gegebenen Richtung pro projiziertem Flächenelement \cos(\beta ){\mathrm  {d}}A und pro Raumwinkelelement \mathrm {d} \Omega empfangen wird. Die bisher abgeleiteten Gleichungen gelten analog. Insbesondere gilt für den auf Flächenelement {\mathrm  {d}}A_{2} empfangenen, von {\mathrm  {d}}A_{1} abgegebenen Lichtstrom:

{\mathrm  {d}}^{2}\Phi _{{2\leftarrow 1}}=K_{2}\cdot \cos(\beta _{2})\,{\mathrm  {d}}A_{2}\,{\mathrm  {d}}\Omega _{1}={\frac  {K_{2}\cdot \cos(\beta _{1})\,\cos(\beta _{2})\,{\mathrm  {d}}A_{1}\,{\mathrm  {d}}A_{2}}{r^{2}}}

wobei diesmal der von {\mathrm  {d}}A_{1} aufgespannte Raumwinkel {\mathrm  {d}}\Omega _{1}=\cos(\beta _{1}){\mathrm  {d}}A_{1}/r^{2} auftritt.

Folgerung

Der von {\mathrm  {d}}A_{1} nach {\mathrm  {d}}A_{2} ausgesandte und der auf {\mathrm  {d}}A_{2} von {\mathrm  {d}}A_{1} empfangene Lichtstrom müssen identisch sein (sofern nicht in einem zwischen den Flächen liegenden Medium Licht durch Absorption oder Streuung verloren geht), und aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt:

{\mathrm  {d}}^{2}\Phi _{{1\rightarrow 2}}={\mathrm  {d}}^{2}\Phi _{{2\leftarrow 1}}\ \Leftrightarrow \ L_{1}=K_{2}\,

Die von Flächenelement {\mathrm  {d}}A_{1} ausgesandte Leuchtdichte ist identisch mit der auf Flächenelement {\mathrm  {d}}A_{2} eintreffenden Beleuchtungsdichte.

Man beachte also, dass die Leuchtdichte nicht mit dem Abstand abnimmt. Der gesamte übertragene Lichtstrom \Phi _{{1\rightarrow 2}} bzw. \Phi _{{2\rightarrow 1}} nimmt hingegen wie erwartet mit dem Quadrat des Abstandes ab (aufgrund des Faktors r^{2} im Nenner beider Gleichungen), dies liegt daran, dass der von der Senderfläche aufgespannte Raumwinkel aus Sicht der Empfängerfläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt.

Beispiel: Vergleicht man eine nahe Plakatwand mit einer identisch beleuchteten weiter entfernten, so erscheinen beide gleich „hell“ (sie haben eine abstandsunabhängige und daher in beiden Fällen identische Leuchtdichte). Die nähere Wand nimmt aber für den Beobachter einen größeren Raumwinkel ein, so dass den Beobachter aus diesem größeren Raumwinkel insgesamt ein größerer Lichtstrom erreicht. Die nähere Wand erzeugt eine größere Beleuchtungsstärke beim Beobachter (photometrisches Entfernungsgesetz).

Wird die Beleuchtungsdichte K über den Raumwinkel integriert, aus dem sie stammt, so ergibt sich die Beleuchtungsstärke genannte Einstrahl-Lichtstromflächendichte E auf der Empfängerfläche in lm/m2. Falls die in eine bestimmte Richtung abgegebene Leuchtdichte der Senderfläche bekannt ist, so ist damit sofort auch die mit ihr identische aus derselben Richtung stammende Beleuchtungsdichte der Empfängerfläche bekannt und die Beleuchtungsstärke auf der Empfängerfläche kann aus der Leuchtdichteverteilung der Senderfläche sofort berechnet werden:

E={\frac  {{\mathrm  {d}}\Phi }{{\mathrm  {d}}A}}=\int _{{\Omega }}K(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\cdot {\mathrm  {d}}\Omega =\int _{{\Omega }}L(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\cdot {\mathrm  {d}}\Omega

Beispiel: Die Sonne hat eine Leuchtdichte von L1 ≈ 1,5·109 cd/m2 und erscheint von der Erde aus gesehen unter einem Raumwinkel Ω = 6,8·10−5 sr. Da dieser Raumwinkel klein ist, kann man die Integration über den von der Sonnenscheibe eingenommenen Raumwinkel auf eine Multiplikation mit dem Raumwinkel reduzieren. Wenn im Sommer die Sonne auf 60° Höhe (also 30° von Zenit abweichend) steht, wird die Erde demnach mit E2 = L1 · Ω ·cos(30°) = 89 000 lx bestrahlt.

Radiometrische und photometrische Größen im Vergleich

radiometrische Größe Symbola) SI-Einheit Beschreibung photometrische Entsprechungb) Symbol SI-Einheit
Strahlungsfluss
Strahlungsleistung, radiant flux, radiant power
\Phi_\mathrm{e} W
(Watt)
Strahlungsenergie durch Zeit Lichtstrom
luminous flux
\Phi_\mathrm{v} lm
(Lumen)
Strahlstärke
Strahlungsstärke, radiant intensity
I_{{\mathrm  {e}}} W/sr Strahlungsfluss durch Raumwinkel Lichtstärke
luminous intensity
I_{{\mathrm  {v}}} cd = lm/sr
(Candela)
Bestrahlungsstärke
irradiance
E_{{\mathrm  {e}}} W/m2 Strahlungsfluss durch Empfängerfläche Beleuchtungsstärke
illuminance
E_{{\mathrm  {v}}} lx = lm/m2
(Lux)
Spezifische Ausstrahlung
Ausstrahlungsstromdichte, radiant exitance
{\displaystyle M_{\mathrm {e} }} W/m2 Strahlungsfluss durch Senderfläche Spezifische Lichtausstrahlung
luminous exitance
M_{{\mathrm  {v}}} lm/m2
Strahldichte
Strahlungsdichte, Radianz, radiance
{\displaystyle L_{\mathrm {e} }} W/m2sr Strahlstärke durch effektive Senderfläche Leuchtdichte
luminance
L_{{\mathrm  {v}}} cd/m2
Strahlungsenergie
Strahlungsmenge, radiant energy
Q_{{\mathrm  {e}}} J
(Joule)
durch Strahlung übertragene Energie Lichtmenge
luminous energy
Q_{{\mathrm  {v}}} lm·s
Bestrahlung
Einstrahlung, radiant exposure
{\displaystyle H_{\mathrm {e} }} J/m2 Strahlungsenergie durch Empfängerfläche Belichtung
luminous exposure
H_{{\mathrm  {v}}} lx·s
Strahlungsausbeute
radiant efficiency
\eta _{{\mathrm  {e}}} 1 Strahlungsfluss durch aufgenommene (meist elektrische) Leistung Lichtausbeute
(overall) luminous efficacy
\eta _{{\mathrm  {v}}} lm/W
 
a) Der Index „e“ dient zur Abgrenzung von den photometrischen Größen. Er kann weggelassen werden.
b) Die photometrischen Größen sind die radiometrischen Größen, gewichtet mit dem photometrischen Strahlungsäquivalent K, das die Empfindlichkeit des menschlichen Auges angibt.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.01. 2023