Asphärische Linse

aspärische Fläche

Eine asphärische Linse ist eine Linse mit mindestens einer von der Kugel- oder planen Form abweichenden brechenden Oberfläche. Durch die weitgehend frei formbare Fläche können Abbildungsfehler vermieden oder vermindert werden, die bei sphärischen Linsen unvermeidlich sind. Speziell kann man die sphärische Aberration völlig korrigieren. Die Fertigung einer asphärischen Fläche ist jedoch im Allgemeinen wesentlich aufwändiger als die einer sphärischen Fläche.

Form

Pfeilhöhe bei einer asphärischen Linse

Die Form rotationssymmetrischer asphärischer Flächen wird in der Regel als Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) plus ein Korrekturpolynom für Deformationen höherer Ordnung angegeben. Nichtrotationssymmetrische asphärische Flächen können außeraxiale Ausschnitte solcher Kegelschnitte, aber auch in allen Richtungen frei definierte optische Flächen (Freiform-Asphären) sein.

z(r) = \frac{\rho r^2}{1+\sqrt{1 - (1 + k)(\rho r)^2}} + \sum_{i=2}^n A_\mathrm{2i} \cdot r^{2i} + \sum_{i=1}^m A_\mathrm{2i+1} \cdot |r|^{2i+1}

Formel nach DIN ISO 10110 Optik und Photonik - Erstellung von Zeichnungen für optische Elemente und Systeme, Teil 12 Asphärische Oberflächen mit:

Das paraxiale Verhalten der asphärischen Fläche wird nur von der Scheitelkrümmung \rho bestimmt.

Sonderfälle asphärischer Linsen sind die Zylinderlinse (konstanter Krümmungsradius in einer Schnittebene, unendlicher Krümmungsradius in der dazu senkrechten Schnittebene) und die torische Linse (zwei verschiedene Krümmungsradien in zwei zueinander senkrechten Schnittebenen).

Berechnung an plankonvexer Linse

Zur Schnittweite s bei einer optischen Abbildung mit einer plankonvexen, asphärischen Linse mit der Hauptebene H (grün), dem Brennpunkt F (rot), dem Brechungsindex n = 1,5 und dem Krümmungsradius R bei gegebener Einfallshöhe H.

Anhand einer plankonvexen Linse kann die Form der entsprechenden asphärischen Oberfläche verhältnismäßig leicht veranschaulicht werden. Betrachtet man eine optische Abbildung aus dem Unendlichen mit parallelem, monochromatischem Licht durch eine solche Linse mit dem Krümmungsradius R bei der Einfallshöhe H, ergibt sich die in nebenstehender Abbildung dargestellte Situation.

Zur Berechnung der asphärischen Oberfläche können Lichtstrahlen betrachtet werden, die mit der Einfallshöhe H parallel zur optischen Achse auf die gegenstandsseitige, plane Linsenfläche fallen. Diese werden beim Eintritt in das optisch dichtere Medium des Linsenmaterials mit dem Brechungsindex n nicht gebrochen, da sie senkrecht auftreffen. Bildseitig bilden diese Strahlen zum Oberflächenlot der Linse in der Linse den Winkel \alpha und außerhalb der Linse den Winkel \beta. Diese Winkel verhalten sich wie durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:

\sin(\alpha) = \frac {H}{R}
\sin(\beta) = \frac {n \cdot H}{R}

Die optische Achse schneiden diese Strahlen dann unter dem Winkel

\gamma = \beta - \alpha

Für achsennahe Strahlen (H\rightarrow0) ergibt sich eine bildseitige Schnittweite s_{0} respektive Brennweite f von:

f = s_{0} = R_{0} \cdot \left(\frac {n} {n-1} - 1 \right),

wobei  R_0 der Radius im Scheitel der Linse auf der optischen Achse ist.

Die Pfeilhöhe z, gemessen von der Hauptebene der Linse, kann dann in Abhängigkeit von der Einfallshöhe H mit Hilfe einiger Hilfsgrößen ausgehend von  H_{0} = 0 und  \Delta_{0} = 0 in Schritten von  \Delta H iterativ ermittelt werden:

H_{i} = H_{i-1} + \Delta H
z_{i} = \Delta_{i-1} + R_{i-1} - \sqrt{R_{i-1}^2 - H_{i}^2}
\gamma_{i} = \arctan {\frac {H_{i}}{f + z_{i}}}
R_{i} = \sqrt {\left({\frac {n \cdot H_{i}}{\sin{\gamma_{i}}} - f - z_{i}}\right)^2 + H_{i}^2}
\alpha_{i} = \arcsin {\frac {H_{i}}{R_{i}}}
\beta_{i} = \arcsin {\frac {n \cdot H_{i}}{R_{i}}}

Für die Schnittweite s_{i} vom Scheitelpunkt der Kugel mit dem Radius R_{i} auf der optischen Achse gilt:

s_{i} = \frac {n \cdot H_{i}} {\sin(\gamma_{i})} - R_{i}

Schließlich ergibt sich der Scheitelabstand \Delta_{i} von der Hauptebene aus der Differenz dieser Schnittweite mit der Schnittweite bei paraxialen Strahlen s_{0}:

\Delta_{i} = s_{i} - s_{0}

Beispiel

Design einer plankonvexen, sphärischen Linse mit den Einfallshöhen H in Zehnerschritten bis ±90 mit einem Brechungsindex von 1,5, einem konstanten Krümmungsradius von 100 und einer Brennweite von 200. Mit zunehmender Einfallshöhe nimmt die von der Hauptebene H gemessene Schnittweite immer weiter ab, und einfallende Strahlen mit Einfallshöhen von ±70 und größeren Beträgen werden innerhalb der Linse sogar totalreflektiert und tragen daher gar nicht zur optischen Abbildung bei. Nur achsnahe Strahlen schneiden die optische Achse in die Nähe des Brennpunktes F.
Design einer plankonvexen, asphärischen Linse mit den Einfallshöhen H in Zehnerschritten bis ±100 entsprechend der Beispieltabelle mit einem Brechungsindex von 1,5, einem Krümmungsradius im Scheitelpunkt auf der optischen Achse von 100 und einer Brennweite von 200. Für alle Einfallshöhen ergibt sich dieselbe von der Hauptebene H gemessene Schnittweite, und alle gebrochenen Strahlen schneiden die optische Achse im Brennpunkt F.

In der folgenden Tabelle sind einige auf diese Weise berechnete Beispielwerte für n = 1,5, und den einheitenlosen Längenmaßen R_{0} = 100 und f = s_{0} = 200 angegeben. Mit zunehmender Einfallshöhe werden die Krümmungsradien immer größer und sowohl die Mittelpunkte als auch Scheitelpunkte der entsprechenden Kreise entfernen sich objektseitig immer weiter von der Hauptebene.

Einfallshöhe
H
 
Pfeilhöhe
z
 
Radius
R
 
Scheitel-
abstand
\Delta
Winkel
\alpha
in °
Winkel
\beta
in °
Winkel
\gamma
in °
0 0,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,0
10 0,5 101,1 0,0 5,7 8,5 2,9
20 2,0 104,4 0,1 11,0 16,7 5,7
30 4,5 109,7 0,3 15,9 24,2 8,3
40 7,8 116,7 0,8 20,0 30,9 10,9
50 12,0 125,2 1,6 23,5 36,8 13,3
60 16,9 134,8 2,8 26,4 41,9 15,5
70 22,4 145,3 4,5 28,8 46,3 17,5
80 28,5 156,6 6,5 30,7 50,0 19,3
90 34,9 168,5 8,9 32,3 53,2 21,0
100 41,8 180,8 11,6 33,6 56,0 22,5
110 48,9 193,6 14,6 34,6 58,5 23,8
120 56,3 206,6 17,9 35,5 60,6 25,1
130 63,9 219,9 21,4 36,2 62,5 26,2
140 71,7 233,4 25,0 36,9 64,1 27,3
150 79,6 247,1 28,9 37,4 65,6 28,2
160 87,7 260,9 32,9 37,8 66,9 29,1
170 95,8 274,9 37,0 38,2 68,1 29,9
180 104,1 288,9 41,2 38,5 69,2 30,6
190 112,4 303,0 45,5 38,8 70,1 31,3
200 120,9 317,3 49,9 39,1 71,0 31,9

Bis zu einer Einfallshöhe von 140 entspricht die konvexe Oberfläche dieser Linse nach DIN ISO 10110-12 (siehe oben) ohne weitere asphärische Parameter in den höheren Gliedern relativ genau der Beziehung für einen Hyperboloiden mit der konischen Konstante k = -2:

z(H) = \frac {H^2} {R_{0} \left(1 + \sqrt {1 + \left( \frac {H} {R_{0}} \right)^2} \right)} = \frac {H^2} {R_{0} + \sqrt{R_{0}^2 + H^2}}

Anwendungen

Herstellung

Die Herstellung von asphärischen Oberflächen kann durch eine Reihe von Verfahren erfolgen:

Schleifen

vergl.: Schleifen

Abformung

Dieses für Serienfertigung kostengünstige Verfahren wird häufig für Kamera-, Kondensorlinsen sowie für Laser-Pick-Up-Optiken bspw. in DVD-Playern eingesetzt.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.01. 2019