Knicken

Unter Knicken versteht man in der Theorie Ⅱ.Ordnung der Technischen Mechanik den Verlust der Stabilität bis hin zum schlagartigen und gewaltsamen Versagen von geraden bzw. leicht gekrümmten Stäben oder Balken unter der Wirkung von Druckkräften, deren Wirkungslinie in der Stabachse liegt, und/oder von Biegemomenten(Einzelstabversagen) als auch Systemversagen, welche aufgrund von Abtriebskräften durch druckbeanspruchte Teile zu einem Knickbiegeline führt. Knickgefährdet sind nicht nur technische Konstruktionen wie Säulen und Stützen, sondern auch biologische Strukturen wie beispielsweise Gräser oder Knochen beim Wirbeltier.

Ein Lineal, das durch Aufbringen einer kritischen Last zwischen Eulerfall 2 und 3 zum Knicken gebracht wird

Der Verlust der Stabilität äußert sich in mit der Belastung rasch wachsenden Formänderungen des Stabes oder des Balkens in der Nähe einer bestimmten Belastung (Knicklast), und zwar mit

einem seitlichen Ausweichen der Stabachse oder Balkenachse (Biegeknicken) oder
einem Verdrehen des Stab- bzw. Balkenquerschnitts (Drillknicken) oder
einem seitlichen Ausweichen der Stabachse oder Balkenachse und einem Verdrehen des Stab- bzw. Balkenquerschnitts (Biegedrillknicken, früher auch als Kippen bezeichnet)

Die Knicklast ist abhängig von

der Art der Beanspruchung (Verlauf der Druckkräfte und/oder Biegemomente über die Stablänge),
Länge des Stabes oder des Balkens,
Querschnittsform des Stabes oder des Balkens, insbesondere das Flächenträgheitsmomente,
Materialeigenschaften des Stabes (bei elastischem Material: i. d. R. ausschließlich der Elastizitätsmodul, bei platischer Berechnung, auch die Fließgrenze),
Einspannung bzw. Auflagerung und Stützung bzw. Bettung des Stabes oder Balkens.

Eulersche Knickfälle (Biegeknicken)

Nach Leonhard Euler, der das Knicken schlanker Stäbe als erster behandelt hat, sind vier Fälle für das Knicken des elastischen Stabes mit mittig wirkender Druckkraft und speziellen Randbedingungen benannt. Diese vier Eulerfälle sind in der Baupraxis und Maschinentechnik nicht die einzigen, die vorkommen. Ein fünfter Fall liegt vor, wenn der Stab einseitig eingespannt und gegenüberliegend in einer seitlich verschiebbaren Parallelführung gelagert ist. Dieser fünfte Fall, der eine repräsentativ sinnvolle Annahme der baustatischen Modellbildung für Säulen in Skelettbauweise sein kann, entspricht numerisch dem Eulerfall (2). Weiter fehlen elastisch gebettete Stäbe (z.B. Pfähle) als auch Drehfedermodelle die in der Realität praktisch immer vorherrschen, da man i. d. R. weder ideale Einspannungen noch ideale Gelenke bewerkstelligen könnte. Euler untersuchte das Gleichgewicht der Spannungen an bereits durch die eigentliche Belastung verformten Stäben, dieser Lösungsansatz war für seine Zeit neu und führte zu umfangreichen Erkenntnissen innerhalb der Stabilitätstheorie. In die Rechnung zum Nachweis der Knicksicherheit gehen sämtliche geometrischen, mechanischen und werkstoffseitigen Parameter des belasteten Bauteiles ein.

Die ideale Knickdruckkraft, zuweilen auch als Eulerkraft bezeichnet, ist diejenige Druckkraft, die in der Momentanlage der (ev. deformierten) Stabachse angreift und in der unverformten Lage orthogonal zum Querschnitt einwirkt, bei der ein idealer Stab im indifferenten Gleichgewicht ist und er keinen Widerstand gegen Ausknicken liefern kann, und kann für den elastischen Bereich für konstante Querschnitte durch eine einzige Formel dargestellt werden:

Die vier Eulerfälle mit folgenden Randbedingungen (v. l. n. r.): (1) eingespannt/frei, (2) gelenkig/gelenkig, (3) eingespannt/gelenkig, (4) eingespannt/eingespannt

$F_{{\mathrm {k}}}={\frac {\pi ^{2}EI}{s^{2}}}$

$E\,$ : Elastizitätsmodul
$I\,$ : axiales Flächenträgheitsmoment des Querschnittes
$\pi \,$ : Kreiszahl Pi ≈ 3,1415926…
$s\,$ : Knicklänge, die mit der Stablänge $L\,$ in folgender Beziehung steht: $s=\beta \cdot L\,$

Für die Eulerfälle (von links nach rechts im Bild) haben die Knicklängenbeiwerte $\beta$ folgende Werte:

(1) = 2
(2) = 1
(3) = 0,699…
(4) = 0,5

Für den Eulerfall (2) stimmen damit Knicklänge und Stablänge überein. Die Werte für $\beta$ können deutlich größer als 2 werden, wenn z. B. die belastende Kraft während des Ausknickens ihre Richtung verändert, was dann keiner der vier standardisierten Eulerfälle mehr ist.

Als weitere Größe wird der Schlankheitsgrad $\lambda$ verwendet:

$\lambda =\beta \cdot L\cdot {\sqrt {{\frac {A}{I}}}}={\frac {\beta \cdot L}{i}}$

wobei für den Trägheitsradius des Querschnittes steht.

Weiterhin ergibt sich die Knickspannung $\sigma _{{\mathrm {k}}}\,$ zu:

$\sigma _{{\mathrm {k}}}={\frac {\pi ^{2}\cdot E}{\lambda ^{2}}}$

Die Funktion $\sigma _{{\mathrm {k}}}(\lambda )$ ergibt eine Hyperbel zweiten Grades, die so genannte Euler-Hyperbel. Dividiert durch den Elastizitätsmodul $E\,$ ergibt sich die Knickdehnung:

$\varepsilon _{\mathrm {k} }={\frac {\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}$

Diese hängt bemerkenswerterweise nur von der Geometrie (Länge, Querschnittsform und -größe, Lagerung) ab, nicht aber vom Werkstoff.

Nicht elastisches Ausknicken nach Tetmajer

Wassertürme stellen aufgrund der in gefülltem Zustand hohen einwirkenden Last besonders knickgefährdete Strukturen dar. Dieser Wasserturm ist daher zusätzlich mit zwei Versteifungsringen versehen

Bei gedrungenen Stäben schließt sich unterhalb eines Grenzschlankheitsgrades ein Bereich des Knickens an, der nicht mehr alleine durch die Elastizität des Materiales gekennzeichnet ist. Für einen Baustahl mit der Bezeichnung S235JR (S235JRG2 – alte Bezeichnung: St37) liegt die Grenze für $\lambda$ bei 105. Für andere Werkstoffe werden ähnliche Grenzwerte angegeben.

Die Grenzschlankheit lässt sich auch berechnen. Sie ergibt sich zu:

$\lambda _{{\mathrm {g}}}=\pi \cdot {\sqrt {\frac {E}{\sigma _{{\mathrm {p}}}}}}$ ,

wenn $\sigma _{{\mathrm {p}}}$ die Proportionalgrenze des Werkstoffes des gedrückten Stabes ist.

Unterhalb dieses Grenzschlankheitsgrades sind Gleichungen nach Ludwig von Tetmajer gültig. Dies sind Zahlenwertgleichungen, die den Schlankheitsgrad als unabhängige Variable in der Funktion haben. Sie haben folgenden Aufbau:

${\sigma _{{\mathrm {k}}}}=a+b\cdot \lambda +c\cdot {\lambda ^{2}},\qquad \left[{\frac {{\mathrm N}}{{\mathrm {mm}}^{2}}}\right]$

Die Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung können für die geläufigsten Bauwerkstoffe der folgenden Tabelle entnommen werden:

Werkstoff	Koeffizient a	Koeffizient b	Koeffizient c
Nadelholz	29,3	–0,194	0,000
Gusseisen (Grauguss)	776,0	–12,000	0,053
Baustahl S235JRG2 (St37)	310,0	–1,140	0,000
Baustahl S355J2G3 (St52)	335,0	–0,620	0,000

Ein- oder zweiachsiges Biegeknicken

Es seien die Stab- bzw. Balkenachse, $\eta$ und $\zeta$ die Hauptträgheitsachsen des (nicht verwundenen) Querschnittes. Dann ist – wenn die Randbedingungen es erlauben – ein Ausweichen der Stabachse

nur in der xη-Ebene (einachsiges Knicken, im Allgemeinen ist $\frac {I_\zeta} {s_\eta^2}$ maßgebend) oder
nur in der xζ-Ebene (einachsiges Knicken, im Allgemeinen ist $\frac {I_\eta} {s_\zeta^2}$ maßgebend) oder
in beiden Ebenen gleichzeitig (zweiachsiges Knicken)

möglich. Letztere Möglichkeit ist insbesondere dann zu berücksichtigen, wenn Knicklasten für das einachsige Knicken in den beiden Ebenen nicht weit auseinander liegen. Eine getrennte Behandlung der beiden einachsigen Knickvorgänge ist dann nicht möglich, weil Einflüsse nichtlinearen Materialverhaltens eine Kopplung bewirken. Anzumerken ist, dass für Knicken Krümmungen ( $\kappa$ ) (z.B. zufolge Belastung (Biegemoment,Temperaturdifferenzen), Vorverformungen (z.B. Vorverdrehungen $\psi$ , oder Vorverkrümmungen) sowie andere Imperfektionen und Querbelastungen(M,Q,q)) sich maßgeblich auf die Stabilitätsgefährdung auswirken und es deshalb dazu führen kann, dass Träger um die Starke Achse ausknicken (z.B. Sparren eines Dachstuhles).

Knicken unter axialen Massenkräften

Ein Schornstein muss gegen Knicken unter Eigengewicht ausgelegt werden

Das Knicken unter axialen Massenkräften, z.B. dem Eigengewicht oder bei hoher axialer Beschleunigung ist ein Stabilitätsfall, der nicht mit den von Euler oder von Tetmajer überlieferten Lösungsansätzen berechnet werden kann. Die kombinatorische Variation der möglichen Lagerungen ergibt sieben verschiedene Knickfälle. Bei zylindrischen Stäben führen solche Knickprobleme auf Besselsche Differentialgleichungen, deren Lösungen mit Hilfe tabellierter Besselfunktionen numerisch bestimmt werden müssen. Ein klassisches Beispiel für dieses Problem sind die Schornsteine großer Kohlekraftwerke. Die Bestimmung der notwendigen Flächenträgheitsmomente für einen solchen Fall kann mit dem Verfahren von Ritz erfolgen. Heutzutage wird es durch die Finite-Elemente-Methode häufig aus der Praxis verdrängt.

Drillknicken und Biegedrillknicken

Reines Drillknicken (Verdrillung des Stabes bei unverändert gerader Stabachse) ist im Allgemeinen nicht von praktischem Interesse, weil ein Ausweichen der Stabachse in der Regel bereits bei geringeren Lasten eintritt.

Biegedrillknicken an einem mittig durch eine Einzelkraft belasteten I-Profil:
a) Ansicht (ohne Verformung gezeichnet)
b) Querschnitt in der Nähe des Auflagers
c) infolge Biegedrillknickens verdrehter Querschnitt in Trägermitte

Dagegen ist die Stabilität eines Trägers unter Umständen auch dann durch Biegedrillknicken gefährdet, wenn keine Druckkräfte vorhanden sind. Das Bild zeigt ein Beispiel, eine ältere Bezeichnung für das Versagen eines biegebelasteten Trägers durch Biegedrillknicken ist Kippen.

Der Widerstand gegen Biegedrillknicken wird neben den oben angeführten Einflüssen durch die Verdrehsteifigkeit und durch verdrehungsbehindernde Stützung des Balkens beeinflusst.

Mathematische Modelle des Knickproblems

Die Differentialgleichung des Knickproblems kann durch die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen am verformten Stab oder Balken gewonnen werden (Theorie II. Ordnung, siehe Baustatik).

Verformung-Kraft-Verlauf des Knickvorganges bei unterschiedlichen mathematischen Modellen

Wird die Differentialgleichung für einen geraden, unbeschränkt elastischen Stab bei mittiger Lasteintragung linearisiert, so führt das mathematisch auf ein Eigenwertproblem. Beim ersten Eigenwert verzweigt sich die Lösung der Differentialgleichung, die Grenze der Stabilität ist erreicht (schwarze horizontale Linie). Verzichtet man auf die Linearisierung der Differentialgleichung, dann zeigt sich, dass mit rasch wachsender Verformung noch eine (geringe) Laststeigerung erreicht werden kann (gestrichelte schwarze Linie).

Werden die (unvermeidlichen) Imperfektionen (Vorverformungen der Stabachse, Ungleichmäßigkeiten des Werkstoffes, Eigenspannungen, Exzentrizität der Lasteintragung) berücksichtigt, dann entsteht eine inhomogene Differentialgleichung (kein Eigenwertproblem). Die Verformungen nehmen schon vor dem Erreichen der Verzweigungslast stark zu. Die Kurve nähert sich – wenn die Differentialgleichung linearisiert wurde – der Verzweigungslast asymptotisch (rote Kurve). Voraussetzung dafür ist, dass der Werkstoff im rein elastischen Bereich bleibt und die Stäbe schlank sind.

Bei einer Teilplastifizierung des Querschnittes bei gedrungenen Stäben unterhalb der Verzweigungslast kann diese nicht erreicht werden (blaue Kurve).

Knicknachweis bei stabilitätsgefährdeten Stabkonstruktionen aus Stahl

DIN 18800, Teil 2, lässt 2 Verfahren zu:

Berechnung des Gesamtsystems nach Theorie II. Ordnung, wobei die zu berücksichtigenden Imperfektionen durch die Norm vorgegeben sind oder
Anwendung des „Ersatzstabverfahrens“ für die einzelnen Stäbe. Hier sind die zu berücksichtigenden Imperfektionen implizit im Berechnungsverfahren enthalten.

DIN EN 1993-1-1:2010 kennt das "Ersatzstabverfahren" nicht mehr.

Das Omega-Verfahren

Das $\omega$ -Verfahren wurde von der Deutschen Reichsbahn für die eigenen Stahlbrücken aus Baustahl entwickelt und war in der DIN 4114 festgelegt. Es lieferte einen sehr einfachen Nachweis der Knicksicherheit. In Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad $\lambda\,$ wurden die Knickzahlen $\omega \,$ in zwei Tabellen für die Werkstoffe S235JR+AR (St37) und S355J2+N (St52) aufgetragen. Bei Schlankheitsgraden kleiner als 20 war kein Knicksicherheitsnachweis notwendig; Schlankheitsgrade größer 250 waren unzulässig. Die auch $\omega \,$ -Zahlen genannten Knickwerte lagen zwischen 1 und 10,55 bei S235JR+AR. Der Sicherheitsnachweis hatte die folgende Form:

$\sigma _{{\mathrm {k}}}=\omega \cdot {\frac {F_{{\mathrm {k}}}}{A}}\leq \sigma _{{\mathrm {zul}}}$

Die Wert von $\sigma _{{\mathrm {zul}}}$ entspricht der zulässigen Druckspannung für den entsprechenden Werkstoff im zugehörigen Lastfall. Der große Vorteil des Verfahrens lag in der Tatsache, dass der Knicknachweis auf einen einfachen Spannungsnachweis mit Druckkräften reduziert wurde. In den $\omega$ -Zahlen waren Knicksicherheiten von 1,3 bis 1,5 eingearbeitet.

Für den Fall, dass keine Tafel der $\omega \,$ -Zahlen zur Verfügung steht, können für den Werkstoff S235JR+AR (St37) die $\omega$ -Zahlen näherungsweise nach der folgenden Formel bestimmt werden:

$\omega \approx 0{,}99+{\frac {\lambda }{728}}+\left({\frac {\lambda }{153}}\right)^{2}+\left({\frac {\lambda }{143}}\right)^{3}\qquad {\text{für}}\quad 20\leq \lambda <115$

$\omega \approx \left({\frac {\lambda }{76{,}95}}\right)^{2}\qquad {\text{für}}\quad 115\leq \lambda \leq 250$

Das Verfahren wurde zwischenzeitlich durch andere und genauere Verfahren ersetzt, besitzt aber durch seine Anschaulichkeit noch eine gewisse Bedeutung in der Ausbildung von Ingenieuren.

Lebende knickgefährdete Strukturen

Halme der Rasenschmiele als durch das Eigengewicht knickgefährdete lebende Struktur

In der Biologie gibt es eine große Anzahl knickgefährdeter Strukturen. Zu ihnen gehören die Sprossachsen der Gräser und die Röhrenknochen der Wirbeltiere. An beiden Beispielen ist gut zu erkennen, worin der beste Schutz gegen ein Versagen durch diesen Stabilitätsausfall besteht: Beide Strukturen sind rohrähnlich mit dünner Wandstärke im Vergleich zum Durchmesser. Die Begründung dazu liefert die Formel zur Eulerschen Knickkraft:

$F_\mathrm{k} = \frac{\pi^2EI}{\beta^2\cdot L^2}$

Der Elastizitätsmodul $E\,$ ist vom natürlichen Werkstoff der Struktur abhängig,
Die Länge $L\,$ ist von der Längsausdehnung/Höhe abhängig,
Der Knicklängenbeiwert $\beta\,$ ist von ihrer Lagerung insbesondere an ihren Rändern abhängig.

Alle drei Werte können wegen dieser Abhängigkeiten kaum optimiert werden. Als letzte Größe bleibt das Flächenträgheitsmoment $I\,$ , und das wird bei einem kreisringförmigen Querschnitt maximal bei gegebenem Materialaufwand. Hinzu kommt, dass ein Rohrquerschnitt in allen Achsen das gleiche Flächenträgheitsmoment besitzt und somit (gleiche $\beta\,$ -Werte vorausgesetzt) für symmetrische Beanspruchungen (was in der Realität aufgrund von Imperfektionen wie Schiefstellungen nie der Fall ist) in allen Richtungen ein gleiches Knickverhalten hat. Weiterhin bietet dieser Querschnitt einen optimalen Widerstand gegen ein Versagen durch Biegen und Torsion.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de