Website durchsuchen

Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Ihre Lösungen heißen Bessel-Funktionen oder Besselfunktion oder Zylinderfunktionen.

Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die durch

x^{2}{\frac  {{\mathrm  d}^{2}f}{{\mathrm  d}x^{2}}}+x{\frac  {{\mathrm  d}f}{{\mathrm  d}x}}+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)f=0

definiert ist, wobei x und \nu reelle oder komplexe Zahlen sind. Die Lösungen heißen Bessel-Funktionen \nu -ter Ordnung.

Entsprechend ist der Bessel-Operator ein Differentialoperator zweiter Ordnung. Er ist definiert durch

B_{\nu }:=x^{2}{\frac  {{\mathrm  d}^{2}}{{\mathrm  d}x^{2}}}+x{\frac  {{\mathrm  d}}{{\mathrm  d}x}}+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)\,.

Mit ihm kann man die Besselsche Differentialgleichung kurz ausdrücken durch

B_{\nu }f=0

Bessel-Funktionen

Allgemein

Die Bessel-Funktionen erster Gattung für {\displaystyle J_{0},J_{1}} und J_{2}
Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung für {\displaystyle Y_{0},Y_{1}} und Y_2

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt. Auf die Bessel-Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran oder einer Orgelpfeife, der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, der Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale, der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, den stationären Zuständen von Kastenpotentialen, der Leistungsverteilung in Kernreaktoren und der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern. Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Als Differentialgleichung zweiter Ableitungsordnung besitzt die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige Lösungen. Sie lassen sich in verschiedenen Varianten beschreiben.

Bessel-Funktionen erster Gattung Jν

Die Bessel-Funktionen erster Gattung J_{\nu } sind definiert als

J_{\nu }(x)=\sum _{{r=0}}^{\infty }{\frac  {(-1)^{r}({\frac  {x}{2}})^{{2r+\nu }}}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}\, ,

wobei \Gamma (x) die Gammafunktion ist. Im Ursprung (x=0) sind diese Funktionen für ganzzahlige \nu endlich.

Für nicht-ganzzahlige \nu sind J_{\nu } und J_{{-\nu }} linear unabhängige Lösungen.

Für ganzzahlige n gilt die Beziehung

J_{{-n}}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)=J_{n}(-x)\,.

In diesem Fall ist die zweite unabhängige Lösung die Bessel-Funktion zweiter Gattung, die weiter unten diskutiert wird.

Integraldarstellungen

Für ganzzahlige n kann man die Bessel-Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen:

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(x\sin \varphi -n\varphi )\,\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{\mathrm {i} \,(x\sin \varphi -n\varphi )}\,\mathrm {d} \varphi \,.\end{aligned}}}

Damit ist {\displaystyle J_{n}(x)}der {\displaystyle n}-te Fourier-Koeffizient der Funktion {\displaystyle \varphi \mapsto e^{ix\sin \varphi }}.

Hypergeometrische Funktion

Die Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

{\displaystyle J_{\nu }(x)={\frac {(x/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(;\nu +1;-x^{2}/4).}

Dieser Ausdruck hängt mit der Entwicklung der Bessel-Funktion in Abhängigkeit zur Bessel-Clifford-Funktion zusammen.

Bessel-Funktionen zweiter Gattung Yν

Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung Y_{\nu }(x) (auch Weber-Funktionen oder Neumann-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist N_{\nu }(x). Für nicht-ganzzahlige \nu kann man die Y_{\nu }(x) definieren durch

Y_{\nu }(x)={\frac  {J_{\nu }(x)\cos(\nu \pi )-J_{{-\nu }}(x)}{\sin(\nu \pi )}}.

Für ganzzahlige n ist die durch den Grenzübergang {\displaystyle \nu \rightarrow n} gebildete Funktion

Y_{n}(x)=\lim _{{\nu \to n}}Y_{\nu }(x)

weiterhin eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.

Wie für die Bessel-Funktionen erster Gattung gilt auch für die Besselfunktionen zweiter Gattung folgende Beziehung:

Y_{{-n}}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).

Nach Ausführung des Grenzüberganges mit der Regel von de l’Hospital ergibt sich

{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\left[{\operatorname {d}  \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =n}+(-1)^{n}{\operatorname {d}  \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =-n}\right].}

Explizit findet man

{\begin{aligned}Y_{n}(x)=\,&{\frac  2{\pi }}\left(\gamma +\ln {\frac  {x}2}\right)J_{n}(x)-{\frac  1{\pi }}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}{\frac  {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac  {x}2}\right)^{{2k-n}}\\&{}-{\frac  1{\pi }}\sum _{{k=0}}^{{\infty }}(-1)^{k}{\frac  {H_{k}+H_{{k+n}}}{k!(n+k)!}}\left({\frac  {x}2}\right)^{{2k+n}}\end{aligned}}

für n\in \mathbb {N} _{0}. Hierbei ist \gamma die Euler-Mascheroni-Konstante und H_{n} die n-te harmonische Zahl.

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung haben also bei x=0 eine logarithmische Singularität und einen Pol n-ter Ordnung.

Für alle \nu ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung J_{\nu } die Bessel-Funktion zweiter Gattung Y_{\nu } eine zweite, linear unabhängige Lösung.

Bessel-Funktionen dritter Gattung Hν(1), Hν(2)

Die Bessel-Funktionen dritter Gattung H_{\nu }^{{(1)}}, H_{\nu }^{{(2)}} (auch bekannt als Hankel-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

{\begin{aligned}H_{\nu }^{{(1)}}(x)&=J_{\nu }(x)+{\mathrm  i}\cdot Y_{\nu }(x)\,,\\H_{\nu }^{{(2)}}(x)&=J_{\nu }(x)-{\mathrm  i}\cdot Y_{\nu }(x)\,,\end{aligned}}

wobei \mathrm {i} die imaginäre Einheit bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

Weitere Eigenschaften

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

{\frac  {\nu }{x}}\Omega _{\nu }={\frac  {1}{2}}(\Omega _{{\nu -1}}+\Omega _{{\nu +1}}),
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Omega _{\nu }={\frac {1}{2}}(\Omega _{\nu -1}-\Omega _{\nu +1})}.

Asymptotisches Verhalten

Seien {\displaystyle x,\nu \in \mathbb {R} ,\nu \geq 0}, dann gelten für 0<x\ll {\sqrt  {\nu +1}} die asymptotischen Darstellungen

{\begin{aligned}J_{\nu }(x)&\approx {\frac  {1}{\Gamma (\nu +1)}}\left({\frac  {x}{2}}\right)^{\nu }\\Y_{\nu }(x)&\approx {\begin{cases}{\frac  {2}{\pi }}\left(\ln \left({\frac  {x}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{wenn }}\nu =0\\\\-{\frac  {\Gamma (\nu )}{\pi }}\left({\frac  {2}{x}}\right)^{\nu }&{\text{wenn }}\nu >0.\end{cases}}\end{aligned}}

Für große Argumente x\gg |\nu ^{2}-1/4| findet man

{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\nu \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\\Y_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\nu \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}.

Diese Formeln sind für \nu =1/2 exakt. Vergleiche hierfür mit den sphärischen Besselfunktionen weiter unten.

Modifizierte Bessel-Funktionen

Die modifizierten Bessel-Funktionen erster Gattung für {\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2}} und I_{3}
Die modifizierten Bessel-Funktionen zweiter Gattung für {\displaystyle K_{0},K_{1},K_{2}} und K_{3}

Die Differentialgleichung

x^{2}{\frac  {{\mathrm  d}^{2}f}{{\mathrm  d}x^{2}}}+x{\frac  {{\mathrm  d}f}{{\mathrm  d}x}}-(x^{2}+\nu ^{2})f=0

wird durch Bessel-Funktionen mit rein imaginärem Argument gelöst. Man definiert für ihre Lösung normalerweise die modifizierten Bessel-Funktionen

{\begin{aligned}I_{\nu }(x)&=i^{{-\nu }}J_{\nu }(ix)=\sum _{{r=0}}^{\infty }{\frac  {({\frac  {x}{2}})^{{2r+\nu }}}{\Gamma (r+\nu +1)r!}}\\K_{\nu }(x)&={\frac  {\pi }{2}}{\frac  {I_{{-\nu }}(x)-I_{\nu }(x)}{\sin(\nu \pi )}}={\frac  {\pi }{2}}i^{{\nu +1}}H_{\nu }^{{(1)}}(ix)\\&={\frac  {\pi }{2}}(-i)^{{\nu +1}}H_{\nu }^{{(2)}}(-ix)\end{aligned}}

Die Funktion K_{\nu }(x) ist auch als MacDonald-Funktion bekannt. Anders als die „normalen“ Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes, sondern ein exponentielles Verhalten auf.

Airysche Integrale

Für die Funktionen K_{{1/3}} und K_{{2/3}} kann man eine Integraldarstellung angeben

{\begin{aligned}K_{{1/3}}(x)&={\sqrt  {3}}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac  {3}{2}}x\left(u+{\frac  {u^{3}}{3}}\right)\right){\mathrm  d}u\\K_{{2/3}}(x)&={\sqrt  {3}}\int _{0}^{\infty }u\sin \left({\frac  {3}{2}}x\left(u+{\frac  {u^{3}}{3}}\right)\right){\mathrm  d}u\end{aligned}}.

Hypergeometrische Funktion

Auch die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung kann durch eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

I_{\nu }(x)={\frac  {(x/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(\nu +1;x^{2}/4).

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

{\displaystyle {\frac {\nu }{x}}\Omega _{\nu }={\frac {1}{2}}\left(\Omega _{\nu +1}-\Omega _{\nu -1}\right)}
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}K_{\nu }=-{\frac {1}{2}}(K_{\nu -1}+K_{\nu +1})}
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}I_{\nu }={\frac {1}{2}}(I_{\nu -1}+I_{\nu +1})}

Asymptotisches Verhalten

Wir nehmen wieder an, dass \nu reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente 0<x\ll {\sqrt  {\nu +1}} findet man

{\begin{aligned}I_{\nu }(x)&\approx {\frac  {1}{\Gamma (\nu +1)}}\left({\frac  {x}{2}}\right)^{\nu }\\K_{\nu }(x)&\approx {\begin{cases}-\left(\ln \left({\frac  {x}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{wenn }}\nu =0\\\\{\frac  {\Gamma (\nu )}{2}}\left({\frac  {2}{x}}\right)^{\nu }&{\text{wenn }}\nu >0\end{cases}}\end{aligned}}.

Für große Argumente x\gg |\nu ^{2}-1/4| erhält man

{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\nu }(x)&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{x}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{x}}\right)\right)\\K_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{x}}\right)\right)\end{aligned}}}.

Sphärische Besselfunktionen

Die Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten führt nach Separation der Variablen auf die Radialgleichung

x^{2}{\frac  {{\mathrm  d}^{2}f_{\mu }(x)}{{\mathrm  d}x^{2}}}+2x{\frac  {{\mathrm  d}f_{\mu }(x)}{{\mathrm  d}x}}+[x^{2}-\mu (\mu +1)]f_{\mu }(x)=0.

Nach der Substitution

f_{\mu }(x)={\frac  {1}{{\sqrt  {x}}}}u_{\mu }(x)

erhält man die Besselsche Differentialgleichung (\nu =\mu +1/2)

x^{2}{\frac  {{\mathrm  d}^{2}u_{\mu }(x)}{{\mathrm  d}x^{2}}}+x{\frac  {{\mathrm  d}u_{\mu }(x)}{{\mathrm  d}x}}+\left[x^{2}-\left(\mu +{\frac  {1}{2}}\right)^{2}\right]u_{\mu }(x)=0.

Für die Lösung f_{\mu }(x) der Radialgleichung werden üblicherweise die sphärischen Bessel-Funktionen j_{\mu }(x), die sphärischen Neumann-Funktionen y_{\mu }(x)=n_{\mu }(x) und die sphärischen Hankel-Funktionen h_{\mu }^{{(1,2)}}(x) definiert:

{\displaystyle {\begin{aligned}&j_{\mu }(x)\quad ={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{\mu +1/2}(x)\\&y_{\mu }(x)\quad ={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{\mu +1/2}(x)\\&h_{\mu }^{(1,2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}H_{\mu +1/2}^{(1,2)}=j_{\mu }(x)\pm iy_{\mu }(x)\end{aligned}}}.


Es gelten die alternativen Darstellungen für m\in \mathbb{N}

{\displaystyle {\begin{aligned}&j_{m}(x)\quad =(-x)^{m}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{m}\ {\frac {\sin x}{x}}\\&y_{m}(x)\quad =-(-x)^{m}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{m}\ {\frac {\cos x}{x}}\\&h_{m}^{(1,2)}(x)=\mp i(-x)^{m}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{m}{\frac {e^{\pm ix}}{x}}\\\end{aligned}}}

Die sphärischen Bessel- und Hankelfunktionen werden beispielsweise für die Behandlung des kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der Quantenmechanik benötigt.

Weitere Eigenschaften

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2\mu +1}{x}}\omega _{\mu }(x)\;\,=\omega _{\mu -1}(x)+\omega _{\mu +1}(x)\\&(2\mu +1)\omega '_{\mu }(x)\,=\mu \omega _{\mu -1}(x)-(\mu +1)\omega _{\mu +1}(x)\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x\omega _{\mu }(x))\quad =x\omega _{\mu -1}(x)-\mu \omega _{\mu }(x)\end{aligned}}}.
W(j_{\mu },y_{\mu })={\frac  {1}{i}}W(j_{\mu },h_{\mu }^{{(1)}})=-W(y_{\mu },h_{\mu }^{{(1)}})={\frac  {1}{x^{2}}}.

Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist eine Integraltransformation, die eng mit der Fourier-Transformation verwandt ist. Der Integralkern der Hankel-Transformation ist die Bessel-Funktion erster Gattung J_{n}, das heißt, der Integraloperator lautet:

H_{n}[f](s)=\int _{0}^{\infty }J_{n}(ts)tf(t){\mathrm  {d}}t.

Eine besondere Eigenschaft der Hankel-Transformation ist, dass mit ihr der Bessel-Operator in einen algebraischen Ausdruck (eine Multiplikation) überführt werden kann.

Geschichte

Bessel-Funktionen wurden von Bessel 1824 ausführlich behandelt, tauchten aber auch schon vorher bei speziellen physikalischen Problemen auf zum Beispiel bei Daniel Bernoulli (Schwingung schwerer Ketten 1738), Leonhard Euler (Membranschwingung 1764), in der Himmelsmechanik bei Joseph-Louis Lagrange (1770) und Pierre-Simon Laplace und bei der Wärmeleitung bei Joseph Fourier (Wärmeausbreitung in Zylinder 1822) und Siméon Denis Poisson (1823).

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.05. 2021