Gemischte Poisson-Verteilung

Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition

Eine Zufallsvariable X genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte \pi (\lambda ), wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

\operatorname {P}(X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}{\frac  {\lambda ^{{k}}}{k!}}e^{{-\lambda }}\,\,\pi (\lambda )\,{\mathrm  d}\lambda

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit q_{\lambda }(k)\, bezeichnen, gilt folglich

\operatorname {P}(X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,{\mathrm  d}\lambda .

Eigenschaften

Im Folgenden sei \mu _{\pi }=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \, der Erwartungswert der Dichte \pi (\lambda )\,, und \sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )d\lambda \, die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

\operatorname {E}(X)=\mu _{\pi }.

Varianz

Für die Varianz erhält man

\operatorname {Var}(X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

\sigma ={\sqrt  {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}}.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

\operatorname {VarK}(X)={\sqrt  {{\frac  {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}{\mu _{\pi }^{2}}}}}.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

\operatorname {v}(X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{{-{\frac  {3}{2}}}}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\varphi _{{X}}(s)=M_{\pi }(e^{{is}}-1)\,.

Dabei ist M_{\pi } die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

m_{{X}}(s)=M_{\pi }(s-1)\,.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

M_{{X}}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1)\,.
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.01. 2021