Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie kurz KO-Topologie ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich X und Y topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge C(X,Y) aller stetigen Funktionen X\to Y wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.

Definition

Seien X und Y topologische Räume. Ist K\subset X kompakt und U\subset Y offen, so sei \Omega (K,U):=\{f\in C(X,Y):\,f(K)\subset U\}.

Die Kompakt-Offen-Topologie auf C(X,Y) ist die von allen Mengen der Form \Omega (K,U), K\subset X kompakt, U\subset Y offen, erzeugte Topologie, d.h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen\Omega (K,U).

Die Mengen \Omega (K,U), K\subset X kompakt, U\subset Y offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit co abgekürzt (engl. compact-open), C_{{co}}(X,Y) bezeichnet dann den Raum C(X,Y), der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften

Im Folgenden seien X und Y topologische Räume.

Trennungsaxiome

Ist Y T0-Raum, T1-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt C_{{co}}(X,Y) demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

Für jede nicht-leere Teilmenge H\subset C(X,Y) hat man die Auswertungsabbildung j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x). Ist \tau irgendeine Topologie auf H, so dass j_{H} stetig ist (H\times X trägt dabei die Produkttopologie aus \tau und der auf X gegebenen Topologie), so ist co|_{H}\subset \tau , d.h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf H ist gröber als \tau . In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung j_{H} stetig, wenn man H mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist X lokalkompakt und Y ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge H\subset C(X,Y) die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x) stetig macht.

Komposition

Seien X und Y lokalkompakt, Z sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

C_{{co}}(X,Y)\times C_{{co}}(Y,Z)\rightarrow C_{{co}}(X,Z),\,\,(f,g)\mapsto g\circ f

stetig.

Kompakte Konvergenz

Sei X lokalkompakt, Y uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf C(X,Y) mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei X ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt p\in X. Mit \pi _{1}(X,p) werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt p bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen \pi _{n}(X,p) betrachte man den Raum \Omega _{{X,p}} aller stetigen Abbildungen g:([0,1]^{2},\partial [0,1]^{2})\to (X,p) des Einheitsquadrates [0,1]^{2} nach X, die den Rand \partial [0,1]^{2} des Einheitsquadrates auf den Basispunkt p abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus \Omega _{{X,p}}, die das Einheitsquadrat auf den Punkt p abbildet, mit {\tilde  {p}} und versieht man \Omega _{{X,p}} mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von C([0,1]^{2},X), so ist das Paar (\Omega _{{X,p}},{\tilde  {p}}) ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun \pi _{2}(X,p):=\pi _{1}(\Omega _{{X,p}},{\tilde  {p}}) und allgemeiner rekursiv \pi _{n}(X,p):=\pi _{{n-1}}(\Omega _{{X,p}},{\tilde  {p}}) für n>1.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.07. 2019