Stoppzeit

Hitting time als Beispiel für eine Stoppzeit

In der Stochastik bezeichnet der Begriff der Stoppzeit eine spezielle Art von Zufallsvariablen, die auf filtrierten Wahrscheinlichkeitsräumen definiert werden. Stoppzeiten sind nicht nur von Bedeutung für die Theorie der stochastischen Prozesse (beispielsweise bei der Lokalisierung von Prozessklassen oder Untersuchungen von gestoppten Prozessen), sondern auch von praktischer Relevanz, etwa für das Problem des optimalen Ausübungszeitpunkts für amerikanische Optionen.

In der aus dem Russischen in das Englische übersetzten Fachliteratur finden sich auch die Bezeichnungen Markov moment (dt. Markow-Moment) oder Markov time (dt. Markow-Zeit).

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega ,{\mathcal  A},P).

Diskreter Fall

Ist eine Filtrierung {\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}} in  \mathcal A gegeben, so heißt eine Zufallsvariable

{\displaystyle \tau \colon \Omega \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}

eine Stoppzeit (bezüglich  \mathbb F ), wenn

{\displaystyle \{\tau =n\}=\{\omega \in \Omega :\tau (\omega )=n\}\in {\mathcal {F}}_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N} _{0}}

ist.

Allgemeiner Fall

Gegeben sei eine geordnete Indexmenge T, die ein Intervall aus {\displaystyle [0,\infty ]} ist. Ist eine Filtrierung {\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}} in  \mathcal A gegeben, so heißt eine Zufallsvariable

{\displaystyle \tau \colon \Omega \to T}

eine Stoppzeit (bezüglich  \mathbb F ), wenn

{\displaystyle \{\tau \leq t\}=\{\omega \in \Omega :\tau (\omega )\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\text{ für alle }}t\in T}.

Endliche Stoppzeit

Eine Stoppzeit \tau heißt eine endliche Stoppzeit, wenn

{\displaystyle P(\tau <\infty )=1}

ist.

Bemerkung

Zu Beachten ist, dass die Eigenschaft, eine Stoppzeit zu sein, keine Eigenschaft der Zufallsvariable alleine, sondern eine Eigenschaft der Zufallsvariable in Verbindung mit einer Filtrierung ist. Daher muss bei Angabe oder Definition immer die Filtrierung mit angegeben werden.

Interpretation

Eine Stoppzeit kann man als die Wartezeit interpretieren, die vergeht, bis ein bestimmtes zufälliges Ereignis eintritt. Wenn wie üblich die Filtrierung die vorhandene Information zu verschiedenen Zeitpunkten angibt, bedeutet die obige Bedingung also, dass zu jeder Zeit bekannt sein soll, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.

Beispiele

\tau _{a} ist eine Stoppzeit. Sie ist nach einer inversen Gauß-Verteilung verteilt, die Dichte ist
{\displaystyle f_{IG}(t)={\frac {a\exp(a\mu )}{\sqrt {2\pi }}}t^{-3/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(a^{2}t^{-1}+\mu ^{2}t)\right),\quad t>0}.
Beispiel einer hitting time: Die zweidimensionale Brownsche Bewegung berührt irgendwann die Ellipse.
\tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\geq 0:\;X_{t}(\omega )\in A\}
eine Stoppzeit. \tau _{A} gibt also den infimalen Zeitpunkt an, an dem X zum ersten Mal die Menge A betritt. Dabei ist es essentiell, dass A abgeschlossen ist: Zum Zeitpunkt t könnte X bereits auf dem Rand von A, aber noch nicht in A sein und die Menge direkt im Anschluss betreten. Dann wäre zwar \tau _{A}=t (man beachte das Infimum), jedoch ist in t noch nicht bekannt, ob A gleich betreten wird oder nicht.

Abgeleitete Konzepte

Gestoppter Prozess

Hauptartikel: Gestoppter Prozess

Ein gestoppter Prozess ist eine Kombination eines stochastischen Prozesses und einer Stoppzeit, die Werte in der Indexmenge ("Zeitmenge") des stochastischen Prozesses annimmt. Gestoppte Prozesse sind Prozesse, die nach einer zufälligen Zeit angehalten werden bzw. ihren Wert nicht mehr verändern. Sie modellieren beispielsweise Ausstiegsstrategien bei einer zeitlichen Abfolge von Glücksspielen.

Lokalisierung

Hauptartikel: Lokalisierung (Stochastik)

Unter einer Lokalisierung versteht man die Erweiterung einer Prozessklasse, die eine gewisse Eigenschaft besitzt, um die Menge aller Prozesse, die gestoppt unter aufsteigenden Folgen von Stoppzeiten ebenfalls diese Eigenschaft besitzt. Typisches Beispiel sind die Martingale und die lokalen Martingale.

σ-Algebra der τ-Vergangenheit

Hauptartikel: σ-Algebra der τ-Vergangenheit
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Die σ-Algebra der τ-Vergangenheit ist eine spezielle σ-Algebra, welche über die Filtrierung und die Stoppzeit definiert wird. Sie findet beispielsweise Anwendung bei der Definition der starken Markow-Eigenschaft und dem Optional Sampling Theorem.

Rechenregeln

Es seien \sigma ,\tau und \tau _{j} Stoppzeiten bezüglich einer Filtration {\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}} sowie

{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}{\text{ und }}\mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{t}^{+})_{t\in T}}.

Dann gilt

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.11. 2021