Inverse Normalverteilung
Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder
Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung
der Brownschen
Molekularbewegung mit Drift
und Streuungskoeffizient
ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus
invers normalverteilt mit den Parametern
.
Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.
Definition
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Eine stetige Zufallsvariable
genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern
(Ereignisrate) und
(Erwartungswert), wenn
sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt.
Eigenschaften
Erwartungswert
Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert
.
Varianz
Die Varianz ergibt sich analog zu
.
Standardabweichung
Daraus erhält man für die Standardabweichung
Variationskoeffizient
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten
.
Schiefe
Die Schiefe ergibt sich zu
.
Wölbung (Kurtosis)
Die Wölbung ergibt sich zu
.
Die Exzess-Kurtosis ist
.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
.
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist
.
Reproduzierbarkeit
Sind
Zufallsvariable mit
inverser Normalverteilung mit den Parametern
und
,
dann ist die Größe
wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den
Parametern
und
.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.02. 2021