Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift v>0 und Streuungskoeffizient $\lambda>0$ ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus a>0 invers normalverteilt mit den Parametern $\left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{{2}}}{\lambda ^{{2}}}}\right)$ . Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Definition

Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern $\lambda >0$ (Ereignisrate) und $\mu >0$ (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{{{\frac {1}{2}}}}e^{{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

$\operatorname {E}(X)=\mu$ .

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\operatorname {Var}(X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}$ .

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

$\sigma ={\sqrt {{\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK}(X)={\sqrt {{\frac {\mu }{\lambda }}}}$ .

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname {v}(X)=3{\sqrt {{\frac {\mu }{\lambda }}}}$ .

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

$\beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3$ .

Die Exzess-Kurtosis ist

$\gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}$ .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{{X}}(s)=e^{{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}}$ .

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

$m_{{X}}(s)=e^{{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}}$ .

Reproduzierbarkeit

Sind $X_1, \dots, X_n$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern $\lambda$ und $\mu$ , dann ist die Größe ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}X_{{i}}$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern $n\lambda$ und $\mu$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de