Hyperbolische Ebene

Die hyperbolische Ebene ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie, genauer aus der Hyperbolischen Geometrie. Dieses geometrische Objekt gehört neben der euklidischen Ebene und der Sphäre zu den Modellräumen der Flächentheorie. Denn sie hat die konstante Gauß- beziehungsweise Schnittkrümmung -1. Der euklidische Raum hat Krümmung {\displaystyle 0} und die Sphäre die Krümmung 1. Im Gegensatz zu diesen beiden Räumen kann die hyperbolische Ebene als Ganzes nicht in den euklidischen Raum \mathbb {R} ^{3} eingebettet werden.

Definition

Die hyperbolische Ebene ist definiert als der 2-dimensionalen hyperbolische Raum {\mathbb  H}^{2}, also als eine zweidimensionale, einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant -1.

Man kann die hyperbolische Ebene mit dem poincaréschen Halbraum-Modell charakterisieren. Stattet man also die Halbebene {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0\}} mit der Metrik {\displaystyle g=y^{-2}(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2})} aus, so erhält man die hyperbolische Ebene.

Im Sinne des Erlanger Programms lässt sich die hyperbolische Ebene interpretieren als die Geometrie des Paares (SL(2,{\mathbb  R}),SO(2)).

Axiomatisch charakterisieren lässt sich die hyperbolische Ebene dadurch, dass sie mit Ausnahme des Parallelenaxioms alle Axiome der euklidischen Geometrie erfüllt und zusätzlich noch das Axiom, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel (d.h. disjunkt) sind.

Andere Verwendungen des Begriffs "Hyperbolische Ebene"

1. je zwei unterschiedliche Punkte gehören zu genau einer Geraden,
2. wenn ein Punkt P nicht zu einer Geraden l gehört, dann gibt es mindestens zwei zu l disjunkte P enthaltende Geraden,
3. wenn eine Menge von Punkten S drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte enthält sowie alle Punkte auf Geraden durch je zwei in S liegende Punkte enthält, dann ist S=H.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.10. 2020