Torsionstensor

Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.

Definition

Sei $(M,\nabla )$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang $\nabla$ . Der Torsionstensor ist ein Tensorfeld, das durch

$T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

definiert ist. Dabei sind $X,Y \in \Gamma(TM)$ zwei Vektorfelder und $[\cdot ,\cdot ]$ meint die Lie-Klammer.

Lokale Darstellung

Sei $e_1, \ldots , e_n$ ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels . Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man $X:=e_{i}$ , $Y:=e_{j}$ und $\gamma _{{ij}}^{k}e_{k}:=[e_{i},e_{j}]$ , dann gilt für die Komponenten $T_{{ij}}^{k}$ des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

$T^{k}{}_{{ij}}=\Gamma ^{k}{}_{{ij}}-\Gamma ^{k}{}_{{ji}}-\gamma ^{k}{}_{{ij}},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

Dabei bezeichnen die Symbole $\Gamma^k_{ij}$ die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

$T^{k}{}_{{ij}}=\Gamma ^{k}{}_{{ij}}-\Gamma ^{k}{}_{{ji}},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

Eigenschaften

Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere $C^{\infty }$ -linear in seinen drei Argumenten.
Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt .

Symmetrischer Zusammenhang

Ein affiner Zusammenhang $\nabla$ heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

$T(X,Y)=0$

oder äquivalent

$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang $\nabla$ und $c\colon \left]-\epsilon ,\epsilon \right[\times \left]a,b\right[\to M$ eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

$\nabla _{{\frac {\partial }{\partial s}}}{\frac {\partial }{\partial t}}c(s,t)=\nabla _{{\frac {\partial }{\partial t}}}{\frac {\partial }{\partial s}}c(s,t)\,.$

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach mit der nach vertauscht werden.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de