Lie-Ableitung
In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.
Lie-Ableitung für Funktionen
Ist ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion die Anwendung von auf :
- .
Genauer: Es seien eine -dimensionale -Mannigfaltigkeit, eine glatte Funktion und ein glattes Vektorfeld auf . Die Lie-Ableitung der Funktion nach im Punkt ist definiert als die Richtungsableitung von nach :
In lokalen Koordinaten lässt sich das Vektorfeld darstellen als
- , mit .
Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann
- .
Lie-Ableitung von Vektorfeldern
Definition
Seien und zwei Vektorfelder an der -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit und der Fluss des Vektorfelds . Dann ist die Lie-Ableitung von in Richtung definiert durch
- ,
wobei den Rücktransport des Flusses meint.
Eigenschaften
Lie-Klammer
Sind und wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität
- ,
wobei eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch . Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.
Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term . Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also verwendet.
Lokale Koordinaten
In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder beziehungsweise eine Darstellungen
beziehungsweise
- .
Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann
Lie-Ableitung von Tensorfeldern
Definition
Für ein Tensorfeld und ein Vektorfeld mit lokalem Fluss ist die Lie-Ableitung von bezüglich definiert als
Eigenschaften
Die Lie-Ableitung ist -linear in und für festes eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.
Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist nicht -linear in .
Eigenschaften und Lie-Algebra
Der Vektorraum aller glatten Funktionen ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes ist dann eine -lineare Derivation , d.h., sie hat die Eigenschaften
- ist -linear
- (Leibniz-Regel)
Bezeichne die Menge aller glatten Vektorfelder auf , dann ist die Lie-Ableitung auch eine -lineare Derivation auf , und es gilt:
- (Leibniz-Regel)
- (Jacobi-Identität)
Dadurch wird zu einer Lie-Algebra.
Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen
Sei eine -Mannigfaltigkeit, ein Vektorfeld auf und eine -Differentialform auf . Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und definieren:
und erhält die Abbildung:
Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:
- ist R-linear
- für beliebiges gilt
- Sei eine beliebige Differentialform über M und
Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes für Funktionen über definiert:
Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes wie folgt definiert:
- .
Sie hat die folgenden Eigenschaften:
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.06. 2020